Arrow-Debreu经济

Arrow-Debreu经济状态偏好理论熊和平武汉大学经济与管理学院Idea该方法首先由美国经济学家Arrow(1964)、Debreu(1959)提出,其目的是用一种简单的方法来分析资产定价问题,得出了一些普适性的结论.该方法或模型虽然简单，但得出的结论非常具有代表性。考虑一种有限状态、有限证券情形，在此情形下从市场交易证券中抽象出几个基本证券，从而对其它证券进行定价。Idea(续)在该模型中，一个证券就是各种可能的收益集合，每种可能都发生在互斥的自然状态之下。一旦不确定状态得到确定，证券的收益也就确定下来。原则上，存在无限多种自然状态，从而与之相应的风险性证券的期末收益也有无限多种。这一状态集必须满足相互排斥且没有遗漏的基本特征。投资者具有状态独立的效用函数。1、Arrow-Debreu证券市场A-D证券市场是由所有A-D证券所构成的证券市场。具体地，考虑两期有限状态（S状态）情形，如果证券市场包含S个不同的A-D证券，则称之为A-D证券市场。由所有可能的状态或有证券形成的集合称为A-D证券的完全集合。何为A-D证券？本人简单地用A-D表示Arrow-DebreuA-D证券的定义A-D证券又称纯证券、状态或有证券、状态或有要求权，有时简称状态证券。定义：只在某个特定ω状态下支付为一个单位，其它状态下的支付为零的证券称为纯证券。表示：00…1状态ω…0A-D证券的定义(续)每一个状态ω都可以定义一个相应的纯证券，因此S个状态可以定义S个纯证券。每个纯证券，其支付向量可以用相应的示性函数来表示：110状态其他0...11...0A-D证券的定义（续）例子：假如未来只有三种状态，则市场上只有三类纯证券：100010001通常情况下，期末有S个状态时，有S个不同的纯证券，其支付向量对应与S维向量空间的标准正交基。市场结构若市场存在S个状态证券，这S个状态证券形成的市场结构按顺序形成一个单位矩阵1...0...0.........010.........001ADIX2、状态价格回顾：每个证券我们关系两个时点的值：期末的支付X期初的价格Spricepayoff单个证券一个组合状态证券isix12(,,...,)TNSsss12(,,...,)NXxxx1纯证券价格（续）含义：每个纯证券的期初价格记为：图示：0期1期00…1状态i…0,1,2,...,iiSi价格的确定：假如市场上有两个交易证券，未来只有两种可能的状态，其支付和价格为：证券状态1状态2价格j$10$20$8k$30$10$9我们来计算状态价格：进一步假定某证券在状态1、2下的支付分别为$15和$50，则价格应该为：1212102083010912$0.20,$0.3015$0.2050$0.30$18一般情形单个证券的支付分解12121122100010...............00111...1iiiiiSiSiiiSiSxxxxxxxxxx一般情形（续）单个证券的价格——上述支付可以通过购买相应的状态证券而得到，从而其合理价格为：11221212...(,,...,)...iiiSiSiiTSiSiSxxxxxxx一般情形（续）：1112121222121212......(,,...,)(,,...,)...............TNNSSSSSNXxxxxxxSSSxxx12,,...,S我们习惯的写法1121111122222212...........................TSSNNSNSSSXxxxSxxxSxxxS3、完全资本市场含义：假定资本市场未来一共有S个状态，当资本市场上存在S个不同的纯证券时，或者能够由资本市场上的证券构造出S个纯证券时，我们称该市场是完全的。命题：由数学知识可知，所有证券的秩等于S时，市场完全完全市场可以有多种不同的定义各种定义Whenwehaveacompletesetofstatecontingentclaimmarkets,wesaythatthemarketsarecomplete.(chi-fuhuang)ThesetofpayoffsavailableviatradesintheassetspananddenotedbyMIf,thenmarketsarecomplete{:,}SNMzRzXRSMR王江的定义一个证券市场的有效性与它允许参与者在多大程度上为不同消费计划融资是紧密相关的。在A—D证券市场的情况下，它提供了最大的灵活性。我们称这种市场是完全的。定义：如果市场中的任一有限消费计划都可以通过有限成本的可交易证券的组合来融资，那么我们就称这个证券市场是完全的。如何解读？Step1：A-D证券市场上的消费——如果存在S个纯证券，则任意未来消费计划可以复制11121112111111221100010...............00111...1SSSSccccccxcxx如何复制？取组合该组合的期末支付为：11121(,,...,)TScccADxXXc1111121211101.........01ADSSccccXcccStep2：该消费计划可以通过购买上述组合而得到。为实现该消费计划的融资成本为：111122111121121...(,,...,)...SSTSSVcccccccc小结当市场上存在S个不同的状态证券时，可以通过买卖这些状态证券（即构造相应的投资组合）为任何可行的消费计划融资；同时任何一种可行的消费计划都可以通过市场上的交易而得到。该市场上任何一个证券，只要其期末各状态下的支付有限，该证券都可以通过买卖状态证券来复制。因此，我们可以简单地将完全市场定义为含S个不同状态证券的市场。小结（续）由线性代数的知识可知，下列方程组有解的充分条件是X是行满秩的故也可以作为完全市场的定义。1112111121222212121...........................NNSSSNNSxxxcxxxcXxxxc()rankXS小结（续）我们还可以进一步用数学知识来说明，但其本质是：任何有限的消费计划都可以通过有限成本融资来构造投资组合，从而实现该消费计划。市场完全还意味着，任何有限的支付向量都可以通过市场交易而复制。后面我们还要证明，完全市场可以复制所有的状态证券。4、参与者的优化我们按如下几个步骤来考虑参与者的优化问题Step1：参与者的条件Step2：参与者的预算约束Step3：参与者的优化问题Step4：优化的必要条件参与者的优化Step1：参与者的条件参与者的禀赋：在A-D框架下，实物禀赋和证券禀赋是没有区别的。实物禀赋：实物加证券：易证，两种禀赋带来的两期消费完全相同！我们称为的复制组合，因为前者复制了后者01(,)ee111121(,,...,)TSeeee11121(,,...,)TSeee0,e1e参与者的财富：由于禀赋组合复制了禀赋的实物形式，故可用复制组合的成本度量实物禀赋的价值，从而计算两期禀赋的总价值：我们称之为参与者的金融财富或简称财富。0101TweeeeStep2：预算约束在A-D框架下，我们假定可以将禀赋兑换成现金，然后用现金购买即期消费和证券组合这一消费组合决策必须满足一定的约束，我们称之为预算约束：01(,)ee01Twee0c1c0101ccwee0101ˆˆTTTTcceece0101TTccwee0011(1,)(1,)TTcece0011ˆ(1,),,TTcececeˆˆTTceˆ()TceStep3：优化问题状态独立时间可加效用max()ˆˆ.0cCTTUcstcec011101{,,...}101011101max()().,0SScccSSucucstcceeccStep4：优化的条件存在性定理：若且U(.)在C上连续，则上述优化问题有解。证明思路——预算集是闭集，闭集上的连续函数存在最值。不满足公理：不满足性意味着效用函数单调增若可微则有：1SCR0010;0,UUUUcc01[,,...,]0TSDUUUU优化的条件优化问题处理：令定理：假定，则上述优化问题的解满足条件：0111()()SiiiiiiLUcwccc0DU011,0,1,2,...,0,0,0,1,2,...,iiiSiiiiiiUiSwcccciS例子考虑“Lucas树模型”，1期有两个等概率的状态a和b。已知状态价格和参与者的禀赋，其效用函数为对数效用函数。求最优消费——组合选择。优化的条件（续）上述问题考虑边界问题。如果达到最优时非负约束不起作用，则最优解称为内点解。如果非负约束起作用，则最优解叫边角解。通常假定效用函数满足Inada条件：因此，一般认为所有的最优解为内点解。0lim,lim0iiiiccUU此时一阶条件为：011()()SiiiLUcwcc011,0,1,2,...,iiSiiiUiSwcc含义：0iijjUUUU5、市场均衡均衡：给定状态价格，参与者决定各自的消费—投资需求，结合市场出清条件可以确定均衡价格。A-D经济的均衡是满足下列两个条件的状态价格集合：给定状态价格，每个参与者达到最优证券市场出清{:}例子：考虑一个经济，在1期有两个等概率的状态a和b。经济参与者1和2，他们具有相同的状态独立、跨时可加的对数效用函数，时间偏好率为1，两者禀赋分别为：0200agent1100agent20050两个定理存在性定理：上述A-D经济系统下，A-D均衡总是存在的。最优性定理：上述A-D经济系统下，均衡配置总是Pareto最优的。