数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库《数学分析II》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、a收敛的cauchy收敛原理nn13、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、limx02x02sintdt4x2、求由曲线2yx和2xy围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求nnx1n(n1)的收敛半径和收敛域，并求和y4、已知zux，求2uxy三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数xp1exdx2、讨论反常积分的敛散性012x3、讨论函数列Sn(,)的一致收敛性(x)x2n四、证明题（每小题10分，共20分）x1n1n1、设x0,1(1,2)n，证明xnnn1x发散n2、证明函数xy22xy0f(x,y)22在（0，0）点连续且可偏导，xy220xy0但它在该点不可微。，《数学分析II》考试题（2）一、叙述题：(每小题5分，共10分）b1、叙述反常积分f(x)dx,a为奇点收敛的cauchy收敛原理a2、二元函数f(x,y)在区域D上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分）1111、)lim(n1n22nnxa(tsint)2、求摆线t[0,2]ya(1cost)与x轴围成的面积1x3、求(cpv)dx21x4、求幂级数n1(xn1)2n的收敛半径和收敛域x5、(,)ufxy，求y2uxy三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、f2xy(x,y)，求limlimf(x,y),milmilf(x,y)xyx0y0y0x0；lim(,)fxy(x,y)(0,0)是否存在？为什么？2、讨论反常积分0arctanpxxdx的敛散性。3、讨论n13n(2(n31)nn)的敛散性。四、证明题：（每小题10分，共20分）b1、设f（x）在[a,b]连续，f(x)0但不恒为0，证明f(x)dx0a2、设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu《数学分析II》考试题（3）五、叙述题：（每小题5分，共15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、计算题：（每小题7分，共35分）1、esin(ln1x)dx2、求三叶玫瑰线rasin3[0,]围成的面积3、求n2nxncos的上下极限2n154、求幂级数nn(x1)n12的和5、uf(x,y)为可微函数，求(uxu2()y)2在极坐标下的表达式七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知f(x,y)22(xy)sin0x0y0或1xcos1yx0,y0，求lim(,)fxy(x,y)(0,0)，问limx0limy0f(x,y),limy0limf(x,x0y)是否存在？为什么？2、讨论反常积分0xp1qxdx的敛散性。nx3、讨论[0,1]fn(x)x的一致收敛性。1nx八、证明题：（每小题10分，共20分）--11、设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数，f(0)0，记它的反函数f（y），ab1证明f(x)dxf(y)dyab(a0,b0)002、设正项级数x收敛，证明级数n2x也收敛nn1n1《数学分析》（二）测试题（4）一．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．闭区间a,b的全体聚点的集合是a,b本身。22．函数lnxx1是x121在区间1,内的原函数。3．若fx在a,b上有界，则fx在a,b上必可积。x4．若fx为连续的偶函数，则Fxftdt0亦为偶函数。5．正项级数nn101n1!是收敛的。二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列1nn3n1的上极限为，下极限为。2．12nlimnn222222n1nn2。3．dtandx0xtedt。4．幂级数nnxn1n3的收敛半径R。5．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，a，nb。n三．计算题（每小题7分，共28分）：dx1．xxee；2．e0xlnxdx；x3．dx014x；4．xdx21x1四．解答题（每小题10分，共30分）：21．求由抛物线y2x与直线yx4所围图形的面积。n2．判断级数1tann11n是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3．确定幂级数n12nx2n11的收敛域，并求其和函数。五．证明题（12分）：证明：函数sinnxfx在,上有连续的二阶导函数，并求fx。4nn1《数学分析》（二）测试题（5）二．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．设a为点集E的聚点，则aE。22．函数lnxx1是x121在,内的原函数。3．有界是函数可积的必要条件。x4．若fx为连续的奇函数，则Fxftdt0亦为奇函数。2n5．正项级数是收敛的。nn12二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列n21的上极限为，下极限为。2．12nlimnn2222nnnnn2。3．dsindx0xtedt。4．幂级数n1nn421nx的收敛半径R。5．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，a，nb。n三．计算题（每小题7分，共28分）：3x1．dx29x；2．10exdx；3．dx2x2x2；4．xdx101x2四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由两抛物线2yx与2y2x所围图形的面积。nn12．判断级数1ln是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？nn13．确定幂级数n1nx的收敛域，并求其和函数。n1五．证明题（12分）：证明：函数22x1fxe在0,上连续。n2nn1《数学分析》（二）测试题（6）一．判断（2*7=14分）（）1.设xf(x)a,b0为在上的极值点，则()0fx0（）2.若在a,b内f(x)g(x),f(b)g(b),则对x[a,b],有f(x)g(x)（）3.若x为点集A的聚点，则必有xA（）4.若F(x)连续，则F(x)dxF(x)C2x2（）5.若(,,,()()fx）在abftdtfxab上连续，x则a（）6.若an收敛，b发散，则（a＋b）必发散nnn23（）7.若an收敛，则a必收敛n二．填空（3*7=21分）1.已知f(lnx)2x,则f(x)____________2．sinxln(x21)dx___________－3.设fx（）2xxe((xx0)0),则20f(x1)dx________4.求1x2limsintdt________________3x0x03x2的拐点坐标5.求yx1(_______)1116．用定积分求________limn1n2nnn17.幂级数nnxn2的收敛半径R＝三.计算（4*7=28分）(要有必要的计算过程)1x2.dx1.xedx2xx113.arcsinxdx024．求曲线yx与yx所围成的图形的面积2四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程)1.n1n2nnn!2.判别n1(n1)n2n2x在（,）上是否一致收敛，为什么五．证明：(9+10=19分)1．设级数2a与n2b都收敛，证明：anbn绝对收敛n2．设f(x)在a,b上二阶可导，f(a)f(b)0，证明：存在一点(a,b)，使得f()(b4a)()()2fbfa《数学分析》（二）测试题（7）一．判断（2*7=14分）（）1.设()0fx，则x0必为f(x)的极值点0（）2.若在a,b内f(x)g(x),f(b)g(b),则对x[a,b],有f(x)g(x)（）3.若x为点集A的聚点，则x可能不属于A（）4.若F(x)连续，则F(x)dxF(x)Cb（）5.若f(xa,bxb,a,f(t)dtf(x)）在上连续，则xun1（）6.若，则级数n收敛liml1uunn（）7.幂级数n至少存在一个收敛点anx二．填空（3*7=21分）1.已知f(x＋1)x22,则f(x)____________cosx1cosx12．___________已知dxA,dx则－1404x1x13.x1(x0)2设f（x）2,则f(x1)dx________x(x0)04.求11costxlimdt________________x0tx0113x2f5.求f(x)x1的极大值为(__)_____32112n6．用定积分求lim________nnnnnn27.幂级数nxn的收敛半径R＝三.计算（4*7=28分）(要有必要的计算过程)11.xlnxdx2.dx2xx113.xarctanxdx04．求曲线yx3从x0到x1的弧长四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程)1.n11n1nn22n2.判别n1(n1)n2n2x在（,）上是否一致收敛，为什么五．证明：(9+10=19分)1．设级数2a与n2b都收敛，证明：n2(anbn)收敛b2．fxabfxfxdxfxxab若()在,上连续，()0,()0,证明：()0，,a《数学分析》（二）测试题（8）三．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．开区间a,b的全体聚点的集合是a,b本身。22．函数lnxx1是x121在区间1,内的原函数。3．若fx在a,b上有界，则fx在a,b上必可积。x4．若fx为a,b上的连续函数，则Fxftdt在a,b上可导。a5．正项级数1nn1是收敛的。二．填空题（每小题4分，共16分）：12nlim1．222222n1n2nnn。d2．0xettddx。3．幂级数nnxn1n3的收敛半径R。4．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，a，nb。n三．计算题（每小题10分，共30分）：dx1．21xxexx；3．dx；2．1lnd014x；四．解答题（每小题10分，共30分）：21．求由抛物线y2x与直线yx4所围图形的面积。1n2．判断级数21nn1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3．确定幂级数n1nx的收敛域，并求其和函数。n1五．证明题（9分）：证明：函数22x1fxe在0,上连续。n2nn1参考答案（1）一、1、设f(x)在[a,b]连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则成立baf(x)dxF(b)F(a)2、0.N0,使得mnN，成立anaa1n2m3、设2DR为开集，zf(x,y),(x,y)D是定义在D上的二元函数，P0(x0,y0)为D中的一定点，若存在只与点有关而与x,y无关的常数A和B，使得2y2z则称函数f在点P0(x0,y0)处是可微的，并称AxByo(x)A为在点P0(x0,y0)处的全微分xBy二、1、分子和分母同时求导limx02x0sint6x2dtlimx042xsinx156x3（8分）2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：10(1xx)（3分）2dx所求的体积为：103(xx)（3分）5dx13、解：设nx(n1)(n2)f(x)，lim11n(n1)1nnn(n1)，收敛半径为1，收敛域[-1，1]（2分）fn1x11'xx(x)ln(1),(02(n1)xxn11),f(x)x0f1x'xx(t)dt1ln(1),(0x1)(3分）x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）4、解：uy=ylnxx（3分）2uxyy1y1xzz(5分）xzzlnxxzx三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）(n1)!n1(n1)1nlimlim(1)en!nnn1nn1（4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分）2、解：0x1px（2分），对1exdxxp1exdxxp1edx0110xp，由于1exdx1xexp故p0时p1xx1(0)10xp收敛（4分）；1exdx1xp，由于1exdx2xexp1（4分）故对一切的pxx0()1xp1edxx收敛，综上所述p0，积分收敛3、解：21Sn(x)x收敛于x（4分）limsupSn(x)x02nnx(,)所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：xxxxn12n21134n,(2)xnx2n（6分）xxxx23