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一定义(n≥2,n∈N)1等差:na-1na=d1′等比:1nnaa=q(q≠0)二通项公式1dnaan)1(1(推导方法:累加法)na()=nmmaaanmddnm1′)0(111qaqaann(推导方法:累乘法)mmm=nnnnmaaaqqa三na性质1A是a与b的等差中项a,A,b成等差数列baA2a+bA=2。1′G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列baG2Gab。2),,,(Nqpnmqpnm,则qpnmaaaa;当n+m=2k时,得nmaa=2ka2′),,,(Nqpnmqpnm则qpnmaaaa;当n+m=2k时,得nmaa=2ka3{}na,{}nb为等差数列,则{}nak,{}nka,{}nnab,{}nkab为等差数列.3′{}na,{}nb为等比数列,则1{}na,{}nka,2{}na,21{}na,{}nnab{}nnab为等比数列.4等差na中,,,,,32knknknnaaaa为等差数列,公差为kd.4′等比na中,,,,,32knknknnaaaa为等比数列,公比为kq.5{}na为等差数列,则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34(k项的和)是等差数列.公差为2kd5′na是等比数列,则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34(k项的和)是等比数列.公比为kq。另外(k项的积)1212221223nnnnnnnaaaaaaaaa,,,也是等比数列,公比为()nnq6{}na是等差数列,设12,nAaaa,122nnnBaaa,21223nnnCaaa,则有CAB2;6′{}na是等比数列,设12,nAaaa,122nnnBaaa,21223nnnCaaa,则有2BAC73或4个数成等差数列,按对称性设,3个数:a-d,a,a+d;4个数:a-3d,a-d,a+d,a+3d7′三个数成等比数列,设为,,aaaqq,也可设为2,,.aaqaq8{na}是等差数列bknan(k,b是常数)(Nn)na关于n的一次函数{na}是等差数列22n11(1)ddS=n+n=AnBn222nnnadans关于n的二次函数。若0d,ns有最小值。若0d,ns有最大值。8′{an}是等比数列n1ABnnaaqqna关于n的指数型函数。{an}是等比数列11AA11nnnaaSqqqqns关于n的指数型函数。9{}na有穷等差数列,则1211nniniaaaaaa。9′{}na有穷等比数列,则1211nniniaaaaaa。10等差数列{}na中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(如:1a,4a,7a,10a仍为公差为3d的等差数列)10′等比数列{}na中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为1kq(如:1a,4a,7a,10a仍为公比3q的等比数列)11{}na是等差数列,公差为d,则na,1na,2a,1a也是等差数列,其公差为d.11′{}na是等比数列,公比为q,则na,1na,2a,1a也是等比数列,其公比为1q12如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{lg}na是公差为lgq的等差数列nS常用的性质:(1)在等差数列{}na中,当项数为2n时,1,nnSaSSndSa奇偶奇偶(中间两项),当项数为2n-1时,,1nSnSSaSn奇偶奇偶(中间项)(2).若等差数列{}na,{}nb的前n项和为,nnST(n为奇数),则1212nnnnaSTb.或1212nnnnTSba(3)在等差数列{}na中.nS=a,mSb,则()nmnmSabnm,特别地,当nmSS时,0nmS,当nS=m,mS=n时()nmSnm(4){}na是等差数列,则数列{}nSn也为等差数列.(5){}na是等差数列,①若首正1a0,公差d0,则当na0且10na,则nS最大,当na0,10na且20na,则nS=1nS最大.②若首负1a0,公差d0,则当na0且10na,则nS最小,当na0,10na且20na,则nS=1nS最小。6na是等比数列,当项数为)(2Nnn,则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶;7当项数为)(12Nnn,则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,.8若{}na等比数列,则nnmnmSSqS四、通项公式的求法1利用nS求通项公式:11(1)(2)nnnSnaSSn.2已知递推公式求通项公式。类型1:)(1nfaann转化为)(1nfaann,累加法(逐差相加法)。例12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa类型2:nnanfa)(1转化为)(1nfaann,累乘法(逐商相乘法)。例32411231()()()()nnnaaaaaaaaaa类型3:qpaann1(p,q为常数,)0)1((ppq)。待定系数法:转化为1()nnatpat,其中1qtp,转化为等比数列。五数列求和1公式法1等差数列:dnnnaaanSnn2)1(2)(11(推导:倒序相加法)1′等比数列:)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn(推导:错位相减法)2、拆项法例:求,)23(1,,101,71,41,11132naaaan的前n项和。)]23(741[)1111(12naaaSnn★3、错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例:234n=1+3x+5x+7x+9x++2n-1xnS★4、裂项相消法①111(1)1nnnn;)121121(21)12)(12(1nnnn;1111()()nnkknnk;1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn②2211111()1211kkkk,211111111(1)(1)1kkkkkkkkk;③nnnn111)(11nknknkn④11(1)!!(1)!nnnn5、倒序相加法61+2+…+n=21n(n+1),12+22+…+n2=61n(n+1)(2n+1),13+23+…+n3=14n2(n+1)2。六数列的分类①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….等比数列的单调性,110{}0{}11{nnaaaaq,则为递增数列,则为递减数列且110{}0{}21{nnaaaaq,则为递减数列,则为递增数列0且(3)当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);(4)当q0时,该数列为摆动数列.
本文标题:数列公式性质总结
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