微分流形-第1章

微分流形讲义曹策问2006年2月引言在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件。它是从常量数学到变量数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡。微积分方法的核心，基于弯曲与平直关系的恰当处理。从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是：“曲---直---曲”。从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形。将每个小扇形弯曲的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的圆弧的长。这样，圆就被一个多边形所代替。多边形面积等于各个小等腰三角形之和:Σ(12底×高)12×(Σ底)×高。当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积。分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积:2122RRRππ××=。这样，在局部上（无穷小范围内），以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积。微积分中昀关键的，同时也昀引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算。在科学史上曾对此争论不休。随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。历史上第一个令人震惊的应用，属于微积分的发明者之一牛顿。他证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论。这的确是人类理性的一次重大胜利。微积分是关于弯曲的科学。微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功。随着自然科学的深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露。在微积分的基础上不断更新发展，出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科。从历史上看,微分流形有三个来源：几何。首先是球面。一张地图描述不了地球；需要一本地图集。地图(chart)、地图集(atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集。整体几何中的曲线与曲面提供了微分流形的丰富例子。力学。将约束系统的运动，看成弯曲空间中的运动，这是Lagrange的出色想法与贡献。例如，平面单摆可视为质点在圆周上的运动，平面双摆可视为质点在环面上的运动。武术中的三节鞭，视为球面三摆时，构形空间是一个有趣的六维流形。约束系统的构形空间，提供了微分流形的大量例子。重要的是，高维流形在现实世界中以约束系统的构形空间的1形式出现，加强了流形论的实际应用意义。函数论。Riemann在研究复变函数的反函数时，遇到了多值函数。通过粘贴几叶复平面，实现了多值函数的单值化。或者说，多值的复杂性转化为多叶Riemann面的几何复杂性，化成了流形问题。多项式方程的解集合，提供了更为丰富的微分流形的例子。例如二维复数空间中的方程（准确说，是二维复射影空间中）：21()(nwzaza=−−L)的解集合称为超椭圆曲线，在拓扑上同胚于一个带个环柄的球面，等于gg(1)2n−的整数部分[(1)2]n−。在数学结构上，流形论是一个不可缺少的部分。简而言之，集合论位于“包含与从属”的层面，拓扑学位于“连续性”的层面，而流形论则位于“可微性”的层面。流形的局部理论，秉承了微积分的核心技术：弯曲与平直关系的恰当处理。例如流形在一点的线性化产生切空间；流形之间的映射在一点的线性化产生切映射；其中使用的，便是典型的微积分方法的延伸。切空间与切映射属于流形论中昀基本的概念。流形的整体理论，则综合运用拓扑，代数，分析，几何等诸多领域的概念和方法，揭示微分流形的整体性质，以及整体性质和局部性质的关系，构成流形论丰富多彩的内容，例如Stokes公式，Gauss-Bonnet公式，同调与上同调的deRham对偶理论等等。2第1章多元函数与映射多元微积分是构建流形论的重要基础之一。最简单的多元函数是线性函数，它与向量的相互作用，构成线性对偶理论，是线代数基本内容之一。流形论中的切空间和余切空间，向量场和微分形式，也都是由此发展出来的线性对偶。流形的积分理论中，由积分区域与被积表达式发展出来的同调群与上同调群的deRham对偶，属于线性对偶理论的高级形态，深刻地刻画了流形的整体拓扑性质。多元微积分的基本对象是多元映射，它的分量是多元函数。最简单的多元映射是线性映射，给定向量空间的基以后，它表现为矩阵。内容更加丰富的是非线性映射，有更多的应用，也更困难。微积分处理非线性映射的基本手段之一，是研究它的微分（切映射），即将它在一点处线性化得到的线性映射；其坐标表示是Jacobi矩阵，它在相当大的程度上刻画了非线性映射在一点处的行为，基本内容由秩定理给出。秩定理是非常重要的工具。也是研究子流形的基础。§1.1线性对偶1.1.A对偶空间。设V为向量空间，称映射:Vα→为线性函数，若：()()()uvuv,,uvV∀∈。λμλαμα+=+,,αλ∀μ∈两个线性函数α,β的线性组合，是一个新的线性函数，取值为：()()()()vvvλαμβλαμβ+=+vV,∀∈。V上全体线性函数,配上线性运算，成为一个新的向量空间，称为V的对偶空间，记为V∗。V∗的元素α，即V上的线性函数，称为余向量(covector)。引进配对符号：,(vv)αα=，则上述两组线性关系可以写为对称形式：,,,,,uvuvvv;,.vλμαλαμαλαμβλαμβ+=++=+由此得一双线性函数：,:,,()VVvvαα∗⋅⋅×→=。1.1.B基与对偶基。设V为维向量空间，{m}iδ是它的一组基。则每一向量可展为：v11...mimivvvvδδδ=++=；昀后一式中用了Einstein求和约定：出现重复的上下指标时，对指标的定义域求和。今后将经常采用，以简化表述。由线代数中基的定义，展式第j个系数jv被向量唯一确定，由v此得到一个函数，称为基底{}iδ下的第j个坐标函数：:,()jjVvδδ→jv。命题：坐标函数iδ是线性函数，且与基{}iδ满足双正交关系(1,)ijm≤≤：()()(,;iijjiiuvuvδλμλδμδδδδ+=+=);i其中Kronecker符号jiδ当i时为1，当jj=i≠时为0。证明：设,iiiuuvviδδ==，其中。则：(),()iiiiuuvδδ==v31111111()(()();()()()mmmmmmmiiiiuvuuvvuvuvuvuvuv).iλμλδδμδδλμδλμδδλμλμλδμδ+=+++++=++++⇒+=+=+LLL因此，。观察展式iVδ∗∈11mimxxδδ=++Lδ，不难看出jjixδ=。另方面，由系数公式可得。这就完成了证明。(),jjjiixδδδδ==定理：设V是维向量空间，m1{,,}mδδL是一组基。则对偶空间V∗也是维向量空m间，相应的坐标函数1{,,}mδδL是它的一组基，称为1{,,}mδδL的对偶基。证明：1,,mδδL线性无关。事实上，设110mmccδδ++=L；作用于iδ，由双正交关系，得。现证完备性。取V中任一余向量0ic=∗α，作用于任意一个向量：v11111111(),,,,()()()().mmmmmmmmvvvvvvvvvααδδαδαδααδαδαδαδ==++=++=++=++LLLL因此11...;,mmjjααδαδαδα=++。附注：用对偶基来写V与V中的元素的展开式，非常便于应用:∗1111;,;;,.miimmmjjvvvvvδδδααδαδαδα=++==++=L双线性函数有简单的坐标表示：11,mmvvvααα=++L。1.1.C有限维向量空间的自反性。对固定的向量v，双线性函数,vα成为V上的∗一个线性函数：(),Lvαα。故()LV∗∗∈。由此得到一个映射：:(),();()(),,.fVVvLfvfvvVααα∗∗∗→=∀∈a定理：向量空间V与(为线性同构。)V∗∗证明：先证f是线性的。Vα∗∀∈，()()(),,,()()()()()()().fvwvwvwfvfwfvfwλμαλμαλαμαλαμαλμα+=+=+=+=+再证f是单射。设。对任何()0fv=Vα∗∈，由坐标表示：11,()()mmvvvfvαααα++===L0。由1,,mααL任意性，每一个为零，故iv0v=。昀后证明f是满射。以V及其基{∗}iδ为出发点，重建对偶理论。给定()LV∗∗∈。则对任意的Vα∗∈，有坐标表示：11()mmLLLααα=++L。构造V中的向量11mmvLLδδ=++L。我们有11()(),()mmfvvLLLαααα==++=Lα。因此()fv=L。线性映射f既单且满，故为线性同构。4在线性同构意义下，向量就是对偶空间Vv∗上的线性函数L：(),vvαα=。线性同构称为向量空间的自反性，V是有限维时成立，无限维时就不一定成立了。()V∗∗V§1.2映射的微分设U是的开集，n:mFU→为一映射。称在点FaU∈可微，若存在常数mn×矩阵B和向量值函数(,)Rxa，使得：()()()(,);lim(,)0xaFxFaBxaxaRxaRxa→=+−+−=。记()BDFa=；线性映射():nBDFa=m→称为映射在点的微分。其意义是，当Faxa→，与齐线性函数()()FxFa−()()DFaxa−的差，是xa−的高阶无穷小。命题：若在点可微，则在点连续，且FaFa()BDFa=恰为Jacobi矩阵：111(,,)(),,(,,)mnnaaaFFFFFBDFaxxxx∂∂∂⎛⎞====⎜⎟∂∂∂⎝⎠LLLx∂∂，其中自变量1(,,)nTxxx=L，因变量均采用列向量记法。1(,,)nTFFF=L证明：记()ikBb=，则10()()()(,);()()||(,);1lim[()()].niiikkikkiiiijjjiiijjjaiFxFabxaxaRxaFaFabRaaFFaFabxεεδεεεδεδε=→=+−+−+=+++∂=+−=∂∑例1：线性映射，:nmF→0()FxxCx=+，C是mn×常数矩阵。。()DFaC=例2：。2222:,(,)(,2FFxyxy→=−)xy2222(,)(,)222xyxyxyDFxyyxxyxyxy−⎛⎞⎛⎞−−⎛⎞∂∂==⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠。命题：设U是n中的开集，:mFU→为一映射。若iFxj∂∂在点的某开邻域存a在且连续，1,。则在点可微。1imjn≤≤≤≤Fa证明：存在闭球()Baε，iFx∂∂j)在其中连续，故一致连续。令()(()tFatxaϕ=+−，则()tϕ′在[0存在且连续。下列计算表明在点可微：,1]Fa11100()1()()(1)(0)()()()(,);njjjjatxanjjjjaFFxFatdtxadtFxaxaRxaϕϕϕξξ=+−=⎛⎞∂′−=−==−⎜⎟∂⎝⎠⎛⎞∂=−+−⎜⎟∂⎝⎠∑∫∫∑5110()110()(,)[]0,().iijjnijjjatxaaiinjjjatxaaFFxaRxadtxaFFdtxaξξξξ=+−=+−⎛⎞⎛⎞∂∂−=−⎜⎟⎜⎟∂∂−⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞∂∂≤−→⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∑∫∑∫→记矩阵的全体为mn×(,)Mmn。指定矩阵变元的一种排序方式，则从集合论层面看，(,)Mmn就是，故可赋予欧氏拓扑。当时，是U上的连续映射：mn1()FCU∈()DFx:(,),DFUMmnxDFx→a()。进一步，若，则。()rFCU∈1()rDFCU−∈引理：设矩阵sr×A的变元恒有界||ijaK≤；,,rsAηξξη=∈∈；则rsKηξ≤。证明：22111||||||;||.rrsiijiijjjjiaarKsrKηξξξηη====≤≤=≤∑∑∑ξ命题：（chainrule）设分别是,UV,nm的开集。若映射:;:pFUVGV→→分别在点可微。则复合映射在点可微，且：,()aUbFaV∈=∈:pHGFU=→oa()()()DHaDGbDFa=⋅。证明：记。则()yFx=()()()()(,)FybFxFaDFaxaxaRxa−=−=−+−。应用于下列计算：()()()()()()(,)()()()(,