绝对值的三角不等式典型例题

11.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式奎屯王新敞新疆；4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。☆教学重点：定理1的证明及几何意义。☆教学难点：换元思想的渗透。☆教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）baba（2）baba（3）baba（4）)0(bbaba请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立）。同样，.aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明（1）baba，（2）baba。证明（1）如果,0ba那么.baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(2（2）根据（1）的结果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例2、证明bababa。例3、证明cbcaba。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？定理1如果,abR,那么baba.在上面不等式中,用向量,ab分别替换实数,ab,则当,ab不共线时,由向量加法三角形法则:向量,ab,ab构成三角形,因此有｜a+b｜｜a｜+｜b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，∴cccbyax22（2）由（1），（2）得：cbayx)()(例5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，∴23,22ayax，由例1及上式，aaayxyx223232。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习：31、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。作业：习题1.22、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3.理解绝对值三角不等式奎屯王新敞新疆。☆预习内容：1．绝对值的定义：aR，||a2.绝对值的几何意义：10.实数a的绝对值||a，表示数轴上坐标为a的点A20.两个实数,ab，它们在数轴上对应的点分别为,AB，那么||ab的几何意义是3.定理1的内容是什么？其证法有几种？4.若实数,ab分别换成向量,ab定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例1设函数()14fxxx．1解不等式()2fx；2求函数()yfx的最值．2.绝对值三角不等式：探究||a，||b，||ab之间的关系.①0ab时,如下图,容易得：||||||abab.②0ab时,如图,容易得：||||||abab.4③0ab时,显然有：||||||abab.综上,得定理1如果,abR,那么||||||abab.当且仅当时,等号成立.在上面不等式中,用向量,ab分别替换实数,ab,则当,ab不共线时,由向量加法三角形法则:向量,ab,ab构成三角形,因此有||||||abab它的几何意义就是:定理1的证明:定理2如果,,abcR,那么||||||acabbc.当且仅当时,等号成立.3、定理应用例2（1）,abR证明baba，（2）已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx。☆课后练习：1.当1babaRba时，不等式、成立的充要条件是A．ab0B．ab220C．ab0D．ab052.对任意实数x，|1||2|xxa恒成立，则a的取值范围是；3.对任意实数x，|1||3|xxa恒成立，则a的取值范围是4.若关于x的不等式|4||3|xxa的解集不是空集，则a的取值范围是.5方程223xxx223xxx的解集为,不等式22||xxxx的解集是.6已知方程1|12||12|axx有实数解，则a的取值范围为。7.画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1、111xx;2、.12yx.8解不等式：1、112xx;2、112xx;3、321xx;4、.0312xx.91、已知.6,4ayax求证：ayx32。62、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。3、已知.3,3,3scCsbBsaA求证：scbaCBA)()(.101、已知.,ayax求证：.axy2、已知.0,cychx求证：.hyx7参考答案:☆课后练习1.B.2、a＜33、a＞44、a＞75、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x0或x2}6、-3=a-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：0x，0y，1yx.其图形是由第一象限中直线xy1下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式1yx的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1.111xx;2．.12yx答案：1、-0.5x0.52.为一菱形区域。8、1、0x2/32、x-1/23、x-3或x04、x-2.91、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，∴23,22ayax，由例1及上式，aaayxyx223232。2、3（解答略）10、（解答略）