法向量解立体几何大题类型大题

11.（2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(Ⅱ)解以O为坐标原点，OCODOP、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB＝（，，），＝（，，）.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63，(Ⅲ)解假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CPCD设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则0,0,nCPnCD所以00000,0,xzxy即000xyz，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设(0,,0)(11),(1,,0),QyyCQy由32CQnn，得13,23y解y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.2（2007福建理•18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；2（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；（Ⅰ）证明取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，1(123)AB，，，(210)BD，，，1(123)BA，，．12200ABBD，111430ABBA，1ABBD⊥，11ABBA⊥．1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）解设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．(113)AD，，，1(020)AA，，．AD⊥n，1AA⊥n，100ADAA，，nn3020xyzy，，03yxz，．令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量．cosn，1113364222ABABABnn．二面角1AADB的大小为6arccos4．（Ⅲ）解由（Ⅱ），1AB为平面1ABD法向量，1(200)(123)BCAB，，，，，．xzABCD1A1C1BOFy3点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB．3.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.解(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450.(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，23，0），B（23，0，0）,D（0，23，8），E（0，0，8），F（0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(FEBD10828210064180||||,cosFEBDFEBDEFBD.设异面直线BD与EF所成角为，则1082|,cos|cosEFBD直线BD与EF所成的角为1082arccos4（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4.以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）证明.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）解因为E为AB的中点，则E（1，1，0），D1C1B1A1EDCBA4从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh（3）解设平面D1EC的法向量),,(cban，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令b=1,∴c=2,a=2－x，∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn∴321x（不合，舍去），322x.∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4.5.(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点(Ⅰ)证明：AM⊥PM；(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。(Ⅰ)证明以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意，可得),0,2,0(),3,1,0(),0,0,0(CPD)0,2,2(),0,0,22(MAD1C1B1A1EDCBAoxzyzyxMPDCBÁ5∴(2,2,0)(0,1,3)(2,1,3)PM(2,2,0)(22,0,0)(2,2,0)AM∴(2,1,3)(2,2,0)0PMAM即PMAM,∴AM⊥PM.(Ⅱ)解设(,,)nxyz，且n平面PAM，则00nPMnAM即0)0,2,2(),,(0)3,1,2(),,(zyxzyx∴022032yxzyx，yxyz23取1y，得(2,1,3)n取(0,0,1)p，显然p平面ABCD，∴32cos,2||||6npnpnp结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；(Ⅲ)设点D到平面PAM的距离为d，由(Ⅱ)可知(2,1,3)n与平面PAM垂直，则||||DAndn=362)3(1)2(|)3,1,2()0,0,22(|222即点D到平面PAM的距离为3626.(厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体ABCDABCD的对角线'BD上，∠HDA=060．（Ⅰ）求DH与CC所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面AADD所成角的大小．解：以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz．设(1)(0)Hmmm，，则(100)DA，，，(001)CC，，．连结BD，BD．设(1)(0)DHmmm，，，由已知60DHDA，，ABCDABCxyzH6由cosDADHDADHDADH，可得2221mm．解得22m，所以22122DH，，．（Ⅰ）因为220011222cos212DHCC，，所以45DHCC，．即DH与CC所成的角为45．（Ⅱ）平面AADD的一个法向量是(010)DC，，．因为220110122cos212DHDC，，所以60DHDC，．可得DH与平面AADD所成的角为30．7.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离．⑴证明连结OC,,.BODOABADAOBD,BODOBCCD，COBD．在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2AC，222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCO∴AO平面BCD．(2)解以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BDACDOBEyzxACDOBEyzx713(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD2cos,4BACDBACDBACD，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．⑶解设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则(,,)(1,0,1)0(,,)(0,3,1)0nADxyznACxyz，∴030xzyz，令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量．又13(,,0),22EC∴点E到平面ACD的距离32177ECnhn．8.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点.(1)求证：//AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.设22ADDEABa，建立如图所示的坐标系Axyz，则000200,0,0,,,3,0,,3,2ACaBaDaaEaaa，，,，，.∵F为CD的中点，∴33,,022Faa.(1)证明33,,0,,3,,2,0,22AFaaBEaaaBCaa，∵12AFBEBC，AF平面BCE，∴//AF平面BCE.(2)证明∵33,,0,,3,0,0,0,222AFaaCDaaEDa，∴0,0AFCDAFED，∴,AFCDAFED.∴AF平面CDE，又//AF平面BCE，∴平面BCE平面CDE.ABCDEF8(3)解设平面BCE的法向量为,,nxyz，由0,0nBEnBC可得：30,20xyzxz，取1,3,2n.又33,,22BFaaa，设BF和平面BCE所成的角为，则22sin4222BFnaaBFn.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24.9.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。（I）求证：1AC平面1ABC；（II）求1CC到平面1AAB的距离；（III）求二面角1AABC的大小。（I）证明如图，取AB的中点E，则//DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又1AD平