3-2-2--一元二次不等式的应用(北师大版)

2.2一元二次不等式的应用1.熟练掌握一元二次不等式的解法；2.初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法;3.培养数形结合的思想、抽象概括能力和逻辑思维能力.我们学习了一元二次不等式的解法，应用它能解决什么问题呢？一元二次方程根的分布问题；分式不等式；高次不等式；实际应用问题．例9m为何值时,方程2(3)0xmxm有实数解?解方程2(3)0xmxm有实数解,等价于2(3)40mm,即21090mm.这是关于m的一元二次不等式,按求解程序.可得这个不等式的解集为1,9mmm或.所以,当19mm或时,原方程有实数解.一般地，一元二次方程的解与不等式的解之间的关系ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有________解⇔Δ＝b2－4ac0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有________解⇔Δ＝b2－4ac＝0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有________解⇔Δ＝b2－4ac0.零个两个一个例10解下列不等式.(1)103xx;(2)5131xx.解(1)按商的符号法则,不等式103xx可转化成不等式(1)(3)0xx，但3x.解这个不等式,可得13xx或.即原不等式的解集为1,3xxx或.(2)不等式513+1xx可改写为51-30+1xx(不等式的右边为0),即2(-1)0+1xx仿（1），可将这个不等式转化为2(-1)(+1)0xx,解这个不等式,可得11x.所以,原不等式的解集为11.xx简单分式不等式的解法，可先整理成标准型fxgx0(0)或fxgx≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．1.fxgx0⇔___________.2.fxgx0⇔___________.3.fxgx≥0⇔___________________.4.fxgx≤0⇔___________________.()()0fxgx()()0fxgx()()0,()0fxgxgx且()()0,()0fxgxgx且例11解不等式:(1)(2)(3)0xxx.解这是一个一元三次不等式,我们还是利用对函数图像的分析来解决这个问题.设f(x)=(1)(2)(3)xxx.(1)显然，()yfx的图像与x轴的交点有三个,它们的坐标依次是(1,0),(2,0),(3,0);(2)函数()yfx的图像把x轴分成了四个不相交的区间,它们依次为(,1),(1,2),(2,3),(3,);(3)当3x时,()0fx.又函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化,其规律很明显，从右到左在每个区间f(x)符号正负相间.所以,不等式的解集为(1,2)(3,).穿针引线法化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或０)．再利用穿根法写出解集，其穿根的步骤：(1)将高次化为一次因式且x项系数为正（或不可约因式）；(2)求各因式零点并按照从小到大的顺序标在x轴上；(3)从右上方依次穿过且奇穿偶不穿；(4)X轴上方为正，x轴下方为负，写出解集．[变式训练]解下列不等式x(x－1)²(x＋1)3(x＋2)≥0.解析：各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，结合图示，可得不等式解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．1例12国家原计划以2400元／ｔ的价格收购某种农产品ｍｔ.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解设税率调低后的“税收总收入”为y元．2400(12%)(8)%ymxx＝212(42400)(08)25mxxx.依题意，得24008%78%,ym即212(42400)25mxx24008%78%,m整理，得242880,xx解得442.x根据x的实际意义，知08,x所以02x为所求．答x的取值范围是02x．用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；3．解这个一元二次不等式得到实际问题的解．1.解下列不等式(1)x－1x－2≥0；(2)2x－13－4x1.解析：(1)原不等式等价于x－1x－2≥0，x－2≠0，解得x≤1或x2，∴原不等式的解集为{x|x≤1，或x2}．(2)原不等式可改写为2x－14x－3＋10，即6x－44x－30，∴(6x－4)(4x－3)0，∴23x34，∴原不等式的解集为{x|23x34}．2.解不等式(x－1)(x＋2)(2x－1)≥0解析：如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为[－2，12]∪[1，＋∞)．3.一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本总数为R=500+30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？解析：设该厂获得的利润为y元，则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500(0＜x＜80)由题意知y≥1300,所以-2x2+130x-500≥1300，解得20≤x≤45，所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1300元.1.一元二次方程根的分布问题；2.分式不等式的解法；3.高次不等式的解法；4.实际应用问题．5.三个二次的关系：迎头搏击才能前进，勇气减轻了命运的打击。——德谟克里特不等式、方程与函数的关系1.解形如()0fx(或()0fx)的不等式．利用图形计算器可以画出函数()yfx的图像，然后求出函数与x轴交点的横坐标，再借助函数图像写出不等式的解．例13解不等式3261160.xxx解利用图形计算器画出函数32()6116fxxxx的图像如图。求出函数()yfx与x轴交点的横坐标1，2，3，由图像可得不等式3261160xxx的解集为(1,2)(3,)U．-13yxo32()6116fxxxx212.解形如()()fxgx的不等式．利用图形计算器可以画出函数()yfx和()ygx的图像，函数()yfx的图像在()ygx图像的上方部分的横坐标即为不等式的解．例14解不等式0.3log.xx解设函数0.3()logfxx,()gxx，画出这两个函数的图像.求出这两个函数交点的横坐标0.53x，如图，由图像可得不等式0.3logxx的解集是函数()fx的图像在()gx图像上方时x的集合，因此不等式的近似解集为(0,0.53)．-23yxo21-13.借助图形计算器根据函数的图像解不等式很便捷，但这种方法解不等式有时是有局限的．例如：解不等式320xx时，画出图像如图．-23yxo21根据图像会得出这个不等式的近似解集为(,1.4)，-1但事实上，在1x时，这两个函数还存在交点．这种情况的出现是由于图形计算器只能显示函数的局部图像，无法显示出无穷远处的情况．怎么解决这个问题呢？设1xt，不等式可以转化为1312()tt，再转化为1320tt，进而可得近似解区间为(0.002932,0.100608),t转化为x的区间是(,1.37346)(9.93954,)．