3.6--有限群的分类

§9有限群的分类1.凯莱定理：设G是n阶群，则G一定与对称群nS的某个子群同构。凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群nS研究透就够了，但由于nS的阶数(!)n非常大，很难找出G具体与nS的哪个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。，2。群的直和分解概念定义设12,,,sNNN是群G的正规子群。如果xG，都存在唯一的iixN，使得12sxxxx；同时当ij时，iN中的元素与jN中的元素可交换，则称G为12,,,sNNN的直和，记为12.sGNNN例如，以克莱茵四元群为例，4{,,,}Keabc，取1{,},Nea2{,},Neb则124,,NNK且有12,,,eeeeNeN12,,,aaeaNeN12,,,bebeNbN12,,,cabaNbN从而根据定义有412.KNN再比如，6阶循环群2345,,,,,Gaeaaaaa，6ae。取331{,}Neaa，2422{,,}Neaaa，则不难验证有12GNN。3.有限群的结构定理群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将一般的群分解成循环群的直和。以下将n阶循环群记为nC。情形1：有限交换群的情形定理1每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,,,smmm，满足12|,mm23|,,mm1|ssmm，即12smmmGCCC。通常称12,,,smmm为G的不变因子（Invariantfactors）。定理2设正整数1212tnnntmppp，其中12,,,tppp为互不相同的素数，0in，则1212.nnnttmpppCCCC（即循环群还可以进一步分解为更小的循环群的直和）结合定理1和定理2得定理3任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和，其中每个循环群的阶都是素数的方幂。定理4素幂阶循环群npZ不可能再分解成阶数更小的循环群的直和。定理5若m与n互素，则mnmnCCC。将12,,,smmm在整数范围内作因式分解，由于12|,mm23|,,mm1|ssmm，因此12,,,smmm必有相同的素因子，把它们按从高到低的次序排列如下：11112112,tnnntmppp22122212,tnnntmppp1212,ssstnnnstmppp其中有些ijn可以为0，且120.jjsjnnn称以上分解出的真因子(0)ijnjijpn都叫G的一个初等因子(elementaryfactor).定理1，2，3可以简写成形式111nijijsstmpiijGCC例1确定所有4阶和6阶交换群。解。（1）24222n，全部初等因子组为{2，2}，{22}，因此只有两种4阶交换群：22CC，4C。其中22CC就是克莱茵四元群4K（见前面例子）。（2）623n，初等因子组只有{2，3}，因此6阶交换群只有一个：236CCC。但要注意，这里给出的仅仅是交换群的情形，还有6阶非交换群存在：3S。例2列出所有1500阶的有限交换群解。231500235,n全部初等因子组为22,3,5,5,5，222,3,5,5，232,3,52,2,3,5,5,5，22,2,3,5,5，32,2,3,5，因此共有6种1500阶的交换群，分别为143555,GCCCCC243525,GCCCC343125,GCCC4223555,GCCCCCC5223525,GCCCCC6223125.GCCCC注意：利用定理5可以将123456,,,,,GGGGGG重新改写成15560GCCC,25300GCC,31500GC,451030GCCC,510150GCC,62750GCC,最后得到123456,,,,,GGGGGG的不变因子分别为：{5，5，60}，{5，300}，{1500}，{5，10，30}，{10，150}，{2，750}。作业：（1）决定20及20阶以下交换群的结构；（2）给出2250阶交换群的所有结构，并求出相应的不变因子。再给出两个关于交换群的结论定理6素数阶的群总是交换群而且只有一个，即素数阶的循环群。定理7设G是n阶交换群，m是n的任何一个正因子，则G总存在m阶的子群。注意:定理7对非交换群不成立。如取G为4S的全部偶置换作成的群（即交错群4A），它是一个12阶非交换群，但可以验证4A没有6阶子群。情形2：非交换群的情形正n边形的对称群概念：令T为正n边形顺时针旋转2n的旋转对称，S为关于过中心的对称轴的镜面对称，则正n边形总共有2n个对称，正n边形的对称群表示为：11{,,,,,,,}nnnDITTSSTST，其中，21,,,nTISISTTSI为恒等变换。定理5设||,,Gpqpq为素数，且不妨设pq。若q不整除1p，则pqGZ；若|1qp，则G同构于由c和d生成的非交换群：,pce,qdesdccd其中，p不整除1s，|(1)qps。例子：1553，5,3,pqq不整除1p，所以15阶的群只有循环群15C。推论设p是奇素数，则2p阶的群要么是循环群2pC，要么是正p边形的对称群pD。例如，623阶群只有6C和33()DS；1025阶群只有10C和5D；1427阶群只有14C和7D。定理68阶非交换群只有两个：一个是正四边形的对称群4D；另一个是四元数群8Q定理712阶非交换群有三个：一个是正六边形的对称群6D；一个是交错群4A；一个是由两个元素,ab生成的群，记为R6,ae22,ba15.baabab总结:15及15阶以下交换和非交换群列表n群个数1{}e122C133C1422CC,4C255C166C,3D(即3S，非交换)277C18222CCC,24CC，8C,4D，8(Q非交换）5933CC,9C21010C,5D(非交换)2当16n时，共有14个不同的16阶群，其中交换群有4个：2222,CCCC224,CCC28,CC16C，其余10个为非交换群。当32n时，共有51个不同的交换和非交换群。因此，没有一个关于n阶群个数的公式。1111C11226CC,12C,4A，6D，R(非交换）51313C11414C,7D(非交换)21515C1