32.压缩数列

第26讲:压缩数列217第26讲:压缩数列压缩映射(函数)是高等数学中的重要函数,它在数学分析、微分方程、积分方程、代数方程的研究中都有重要作用.压缩函数定义:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:x1,x2∈[a,b],λ∈(0,1),使得:|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,λ叫做压缩系数.判定定理:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:x∈[a,b],|f(x)|≤k1,则f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f(x)|max.证明:由拉格朗日中值定理:x1,x2∈[a,b],x1≠x2,ξ∈[a,b],使得:2121)()(xxxfxf=f(ξ)|f(x1)-f(x2)|=|f(ξ)||x1-x2||x1-x2|f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f(x)|max.性质定理:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,则f(x)=x有且只有一个解.证明:存在性:构造函数g(x)=f(x)-x,由|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2||f(a)-f(b)|b-aa-bf(a)-f(b)b-a0g(a)-g(b)2(b-a)g(a)g(b)g(a)≥0,g(b)≤0,由连续函数的介值性定理知必存在一点x0∈[a,b]满足g(x0)=0,即f(x0)=x0;唯一性:假设存在两点x1,x2满足:f(x1)=x2,f(x2)=x2,则由已知条件有|x1-x2|=|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2||x1-x2|,矛盾.压缩函数可以用于迭代求方程的根、研究数列的极限等.证明数列的极限存在,常采用两种方法:①利用单调有界原理;②利用压缩函数原理.压缩数列定义:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,数列{xn}满足:初始值x1∈[a,b],xn+1=f(xn)(n∈N+),则称数列{xn}是压缩数列.性质定理:如果数列{xn}是压缩数列,则:①|xn+1-xn|≤λn-1|x2-x1|;②|xn+k-xn|≤11n|x2-x1|;③niiixx11||11|x2-x1|;④若x0满足f(x0)=x0,则|xn-x0|≤λn-1|x1-x0|;⑤若x0满足f(x0)=x0,则|xn-x0|≤1n|x1-x0|.证明:①由|xn+1-xn|=|f(xn)-f(xn-1)|≤λ|xn-xn-1||xn+1-xn|≤λn-1|x2-x1|;②|xn+k-xn|=|(xn+k-xn+k-1)+(xn+k-1-xn+k-2)+…+(xn+1-xn)|≤|xn+k-xn+k-1|+|xn+k-1-xn+k-2|+…+|xn+1-xn|≤λn+k-2|x2-x1|+λn+k-3|x2-x1|+…+λn-1|x2-x1|=λn-1|x2-x1|(1+λ+…+λk-2)11n|x2-x1|;③niiixx11|||x2-x1|(1+λ+…+λk-2)11|x2-x1|;④由|xn-x0|=|f(xn-1)-f(x0)|≤λ|xn-1-x0||xn-x0|≤λn-1|x1-x0|;⑤由|xn+k-xn|≤11n|x2-x1||xn+k-xn|≤1n|x1-x0|,令k→+∞,则xn+k→x0|xn-x0|≤1n|x1-x0|;例1:压缩数列的初始例子.[始源问题]:(2006年广东高考试题)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合:①对任意的x∈[1,2],都有f(2x)∈(1,2);②存在常数L(0L1)使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|f(2x1)-f(2x2)|≤L|x1-x2|.(Ⅰ)设f(x)=31x,x∈[2,4],证明:f(x)∈A;(Ⅱ)设f(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=f(2x0),那么这样的x0是唯一的;(Ⅲ)设f(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=f(2xn),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤LLk11|x2-x1|.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=31xf(2x)=321x,x∈[1,2]f(2x)∈[f(2),f(4)]=[33,35](1,2);当x1≠x2时,|||)2()2(|2121xxxfxf=|||2121|223231xxxx=2323231231)21(2121)21(2xxxx23)3(321f(x)∈A;(Ⅱ)反证:假设存在x1,x2∈(1,2),x1≠x2,使得x1=f(2x1),x2=f(2x2),则|x1-x2|=|f(2x1)-f(2x2)|≤L|x1-x2|L≥1,矛盾.故结论成立;218第26讲:压缩数列(Ⅲ)由f(x)∈A,任取x1∈(1,2),xn+1=f(2xn)|xn+1-xn|=|f(2xn)-f(2xn-1)|≤L|xn-xn-1||xn-xn-1|≤Ln-2|x2-x1||xk+p-xk|=|(xk+1-xk)+(xk+2-xk+1)+…+(xk+p-xk+p-1)|≤|xk+1-xk|+|xk+2-xk+1|+…+|xk+p-xk+p-1|≤Lk-1|x2-x1|(1+L+…+Lp-1)LLk11|x2-x1|.本题是2006年广东高考数学压轴题,高考数学压轴题,总给人一种望而生畏的感觉.很多考生一看这个题目,就被它“复杂”的形式吓倒了,望而却步,乖乖缴“械”;而不少考生压根儿就没去看这道题.本题满分12分,全省仅有3人获得满分,10分以上也才区区几十号人,平均分只有0.18分,得分率(难度)为0.015.[原创问题]:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:x1,x2∈[a,b],λ∈(0,1),使得:|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数.给出函数f(x)=321x.(Ⅰ)求证:f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)数列{xn}满足:x1=3,xn+1=f(xn),求证:|xk+p-xk|≤(21)k+1.[解析]:(Ⅰ)当x1≠x2时,|||)()(|2121xxxfxf=|||11|22322321xxxx=2322322321232121)1(11)1(||xxxxxx23)2(341x1,x2∈[1,2],|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2|,其中,λ=23)2(341f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)由f(x)=321xf(x)=3)1(2322xx0f(x)=92(x2+1)35(3-x2)0f(x)≤f(3)=323121|f(x1)-f(x2)|≤21|x1-x2||xn+1-xn|=|f(xn)-f(xn-1)|≤21|xn-xn-1||xn+1-xn|≤(21)n-1|x2-x1||xk+p-xk|=|(xk+1-xk)+(xk+2-xk+1)+…+(xk+p-xk+p-1)|≤|xk+1-xk|+|xk+2-xk+1|+…+|xk+p-xk+p-1|≤(21)k-1|x2-x1|[1+21+…+(21)p-1](21)k|x2-x1|=(21)k|2-3|(21)k+1.例2:压缩数列的另一例子.[始源问题]:(2011年年广州一模数学试题)已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈R,存在正实数L,使得:|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|都成立.(Ⅰ)若f(x)=21x,求L的取值范围;(Ⅱ)当0L1时,数列{an}满足an+1=f(an),n=1,2,….(i)证明:niiiaa11||L11|a1-a2|;(ii)令Ak=kaaak21(k=1,2,3,…),证明:niiiAA11||L11|a1-a2|.[解析]:(Ⅰ)对任意x1,x2∈R,有|f(x1)-f(x2)|=|211x-221x|=32212111||xxxx|x1-x2|;由|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|32212111||xxxx|x1-x2|≤L|x1-x2|32212111||xxxx≤L;又由211x|x1|,221x|x2|211x+221x|x1|+|x2|≥|x1+x2|32212111||xxxx1L≥1L的取值范围是[1,+∞);(Ⅱ)(i)由|an-an+1|=|f(an-1)-f(an)|≤L|an-1-an||an-an+1|≤Ln-1|a1-a2|niiiaa11||≤(1+L+…+Ln-1)|a1-a2|L11|a1-a2|;第26讲:压缩数列219(ii)由Ak=kaaak21|Ak-Ak+1|=|kaaak21-1121kaaaakk|=)1(1kk|(k+1)(a1+a2+…+ak)-k(a1+a2+…+ak+ak+1)|=)1(1kk|a1+a2+…+ak-kak+1|=)1(1kk|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|≤)1(1kk(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)niiiAA11||=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|≤211|a1-a2|+321(|a1-a2|+2|a2-a3|)+…+)1(1nn(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+n|an-an+1|)=|a1-a2|[211+321+…+)1(1nn]+2|a2-a3|[321+…+)1(1nn]+3|a3-a4|[431+…+)1(1nn]+…+n|an-an+1|)1(1nn=|a1-a2|(1-11n)+|a2-a3|(1-12n)+|a3-a4|(1-13n)+…+|an-an+1|(1-1nn)niiiaa11||L11|a1-a2|.本题揭示了压缩函数的根本问题:如何求压缩系数的最小值？常采用两种方法:①利用不等式放缩,求|||)()(|2121xxxfxf的最大值;②利用导数,求|f(x)|的最大值.本题的亮点是由Ak=kaaak21到|Ak-Ak+1|=)1(1kk|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|的变换.由|an-an+1|≤Ln-1|a1-a2||Ak-Ak+1|≤)1(1kk|a1-a2|(1+2L+3L2+…+kLk-1))1(1kk221)1(||Laa.[原创问题]:如果在区间D上有定义的函数f(x)满足:x1,x2∈D,λ∈(0,1),使得:|f(x1)-f(x2)|≤λ|x1-x2|,则区间D叫做函数f(x)的压缩区间,λ叫做函数f(x)的压缩系数.(Ⅰ)若f(x)=21x的压缩区间为(0,+∞),求f(x)压缩系数λ的最小值;(Ⅱ)若数列{xn}满足x1=2,xn+1=21nx,令ak=kxxxk21(k=1,2,3,…),证明:niiiaa11||73.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=21x|f(x1)-f(x2)|=|211x-212x|=)2)(2(121xx|x1-x2|;而)2)(2(121xx41λ≥41λ的最小值=41;(Ⅱ)由|xn-xn+1|=|f(xn-1)-f(xn)|≤41|xn-1-xn||xn-xn+1|≤(41)n-1|x1-x2|=(41)n-1|2-(1-22)|3(41)n;又由ak=kxxxk