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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 电气安装工程 > 注册电气工程师 概率与数理统计公式总结
考研必备1第1部分随机事件及其概率(1)随机事件的关系与运算①A与B不相容:AB=Φ②A与B相互对立:P(AB)=P(A)P(B)③A与B对立BA德摩根率:BABA,BABA⑤P(B∣A)=P(AB)/P(A)(2)运算公式求逆:P(A)=1-P(A)加法:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)减法:P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)乘法:P(AB)=P(A)P(B∣A)(3)条件概率定义设A、B是两个事件,且P(A)0,则称)()(APABP为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(4)独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。(5)全概公式设事件nBBB,,,21满足1°nBBB,,,21两两互不相容,),,2,1(0)(niBPi,2°niiBA1,则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。(6)贝叶斯公式设事件1B,2B,…,nB及A满足1°1B,2B,…,nB两两互不相容,)(BiP0,i1,2,…,n,2°niiBA1,0)(AP,则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1,2,…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP,(1i,2,…,n),通常叫先验概率。)/(ABPi,(1i,2,…,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。考研必备1(7)伯努利概型我们作了n次试验,且满足每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp1,用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk,,2,1,0。第二部分随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,,2,1k,(2)11kkp。(2)连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数x,有xdxxfxF)()(,则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面4个性质:1°0)(xf。2°1)(dxxf。(3)离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。考研必备1(4)分布函数设X为随机变量,x是任意实数,则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。分布函数具有如下性质:1°,1)(0xFx;2°)(xF是单调不减的函数,即21xx时,有)(1xF)(2xF;3°0)(lim)(xFFx,1)(lim)(xFFx;4°)()(0lim0XFXFxx,即)(xF是右连续的;5°)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量,xxkkpxF)(;对于连续型随机变量,xdxxfxF)()(。(5)六大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(,其中nkppq,,2,1,0,10,1,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(~pnBX。当1n时,kkqpkXP1)(,1.0k,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。考研必备1泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(,0,2,1,0k,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(~X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。均匀分布设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数)(xf在[a,b]上为常数ab1,即,0,1)(abxf其他,则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。分布函数为xdxxfxF)()(当a≤x1x2≤b时,X落在区间(21,xx)内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式:!0ndxexxn0,xa,,abaxa≤x≤b1,xb。a≤x≤b)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x0。考研必备1正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(xexf,x,其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为),(~2NX。)(xf具有如下性质:1°)(xf的图形是关于x对称的;2°当x时,21)(f为最大值;若),(~2NX,则X的分布函数为dtexFxt222)(21)(参数0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为)1,0(~NX,其密度函数记为2221)(xex,x,分布函数为xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=21。如果X~),(2N,则X~)1,0(N。1221)(xxxXxP。考研必备1第三部分随机变量的数字特征(1)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量,其分布律为P(kxX)=pk,k=1,2,…,n,nkkkpxXE1)((要求绝对收敛)设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),dxxxfXE)()((要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差D(X)=E[X-E(X)]2,标准差)()(XDX,kkkpXExXD2)]([)(dxxfXExXD)()]([)(2(2)期望的性质(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),niniiiiiXECXCE11)()((4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件:X和Y独立;充要条件:X和Y不相关。(3)方差的性质(1)D(C)=0;E(C)=C(2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;充要条件:X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布的期望和方差期望方差0-1分布),1(pBp)1(pp二项分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P均匀分布),(baU2ba12)(2ab考研必备1指数分布)(e121正态分布),(2N2(5)二维随机变量的数字特征期望niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望)],([YXGE=ijijjipyxG),()],([YXGE=--dxdyyxfyxG),(),(方差iiipXExXD2)]([)(jjjpYExYD2)]([)(dxxfXExXDX)()]([)(2dyyfYEyYDY)()]([)(2协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩,记为),cov(YXXY或,即))].())(([(11YEYXEXEXY与记号XY相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XX与YY。协方差常用计算公式为:)()()(),(YEXEXYEYXCov协方差的性质:①),(),(),(),(XYCovYXCovXDXXCov②0),(cXCov③),(),(YXklCovlYkXCov④),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov⑤当X与Y相互独立时,Cov(X,Y)=0考研必备1相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)0,D(Y)0,则称)()(),(),(YDXDYXCovYX为X与Y的相关系数。①||≤1,当||=1时,称X与Y完全相关:1)(baYXP完全相关,时负相关,当,时正相关,当)0(1)0(1aa②当0时,称X与Y不相关。当X与Y相互独立时,X与Y必定不相关,但反之一般不成立③若(X,Y)~N(,,,,222121),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。④),(2)()()()().(2)()()(YXCovYDXDYDXDYXYDXDYXD以下五个命题是等价的:①0XY;②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵YYYXXYXX考研必备1第四部分样本及抽样分布(1)总体与样本常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本k阶原点矩nikikkxnM1.,2,1,1样本k阶中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE,nXD2)(,22)(SE,221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*,为二阶中心矩。(2)正态总体下的四大分布正态分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数).1,0(~Nxnudeft分布设随机变量X与Y相互独立,且X∽)1,0(N,Y∽)(2n,则样本函数,/nYXT服从自由度为n的t分布,记作t(n)。考研必备1分布2设随机变量X与Y相互独立,且每一个Xi都服从标准正态分布N(0,1),则样本函数niiX122,服用自由度为n的2分布,记作)(n2F分布
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