问题研究-入乎其内-出乎其外-以一道二次函数题的研究为例-石树伟

摘要：以一道二次函数题的研究为例，阐述了问题研究应“入乎其内”———既要教会学生“学答”，又要教会学生“学问”；更应“出乎其外”———既要洞察问题之间的联系和区别，将问题进行适度的变式拓展，以训练学生的思维，又要反思解题过程，把握命题者的命题意图及命题趋势，揭示其中所蕴含的数学思想方法，总结归纳其中的解题规律．关键词：问题研究；学答与学问；拓展及反思王国维在《人间词话》中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外．入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之．入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致．”诗人写诗作赋如此，我们研究数学问题与之有异曲同工之妙.因此，这句话也可以作为我们研究数学问题的至理名言．下面以一道二次函数题的研究为例谈谈数学问题的研究．一、原题呈现题目红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表1所示.时间t/天1361036…日销售量m/件9490847624…表1未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=14t+25（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=-12t+40（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题.（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的函数关系式；（2）预测未来40天中哪1天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．二、入乎其内教师要跳进题海，钻进题中，只有亲身经历解决问题的全过程，才能切身体会数学问题的妙处与瑕疵，才能对问题进行评价和质疑．入乎其内，我们既要教会学生“学答”（学习如何回答问题），这是我们的教育传统和教育优势．但我们不应止步于“学答”，更应教会学生“学问”（学习提出问题进而解决问题），“学问”是发现问题、研究问题的开端，唯有“学问”才能培养学生的创新意识和创新能力．1．“学答”：初步尝试解决问题这道题是一道函数应用题，解题思路很容易获得．但原问题命题者提供的参考答案和我们大部分师生最初的解题过程都略有不足．分析：第（1）小题通过分析表格中数据的变化规律或画散点图容易得知，m（件）与t（天）之间的关系是一次函数关系.利用待定系数法易得函数解析式为m=-2t+96.但应注意不要忘记将其他组对应值代入检验．第（2）、（3）小题看到“……哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？”、“……每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大”这些语句，我们应收稿日期：2011-03-18作者简介：石树伟（1971－），男，江苏宝应人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学和命题研究．问题研究：入乎其内，出乎其外———以一道二次函数题的研究为例石树伟（江苏省扬州市广陵区教育局教研室）JournalofChineseMathematicsEducation2011年第7-8期No.7-8201165有意识地建立日销售利润与时间之间的函数关系，应用函数知识来解决问题，第（2）小题应注意分段并比较.第（2）、（3）小题都可以借助数形结合来帮助我们分析、解决问题．解：（1）m=-2t+96，过程略．（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元.由p1=（-2t+96）14t+5=-12（t-14）2+578，因为1≤t≤20，所以当t=14时，p1有最大值578（元）.由p2=（-2t+96）-12t+20=（t-44）2-16，因为21≤t≤40，且对称轴为t=44，所以函数p2在21≤t≤40上随t值的增大而减小.所以当t=21时，p2有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元）.因为578513，故第14天时，销售利润最大，为578元．（3）p1=（-2t+96）14t+5-a=-12t2+（14+2a）t+480-96a，对称轴为t=14+2a.因为1≤t≤20，t为整数，且p1随t的增大而增大，所以14+2a≥20，a≥3.又因为a4，所以3≤a4.2．“学问”：t为整数对解题结果有无影响？此题有一个不太容易让人注意的条件“t为整数”在解题中一直没有应用，第（2）小题中p1、p2取得最大值时对应的t均为整数，符合条件，无需再考虑这一条件的影响.第（3）小题中t为整数对解题结果是否也无影响呢？值得深入思考一下．第（3）小题p1=-12t2+（14+2a）t+480-96a，因为1≤t≤20，且t为整数，则上述函数的图象不是一条连续的抛物线，也不是抛物线的一段，而是20个分布在抛物线上的散点．所在抛物线开口向下，这20个散点从左至右要呈上升趋势，是不是一定都在对称轴的左侧呢？因为是散点，t=19和t=20所对应的两点可以在对称轴的两侧，但要确保t=20所对应的点更靠近对称轴（即对称轴t=14+2a19.5），这样由抛物线的对称性可确保t=20时的函数值大于t=19时的函数值（如图1）．可不可以有更多的点在对称轴的右侧，如t=19和t=20所对应的两点都在对称轴的右侧呢？如果t=19和t=20所对应的两点都在对称轴的右侧，则由函数增减性可知，当t=19时的函数值大于t=20时的函数值，不符合要求．综上所述，第（3）小题的解题过程应修正如下：解：（3）p1=（-2t+96）14t+5-a=-12t2+（14+2a）t+480-96a，对称轴为t=14+2a.因为1≤t≤20，t为整数，且p1随t的增大而增大，所以14+2a19.5，a2.75.又因为a4，所以2.75a4.三、出乎其外教师更要跳出题海，站在题外，审视问题，洞察问题与其他题目的联系和区别，能将问题进行适度的变式拓展以训练学生的思维；反思解题过程，把握命题者的命题意图及命题趋势，揭示其中所蕴含的数学思想方法，总结归纳其中的解题规律．1．拓展：由“学问”引发的对第（3）小题的变式受“学问”的启发，如果一个实际问题的二次函数模型自变量的取值范围为整数，而其顶点横坐标不是整数，那么其顶点就不在由一系列散点所组成的此实际问题的二次函数图象上，此类问题就不存在顶点最值．所以将第（3）小题稍做变式就变成了此类问题，如何求此类问题的最值，下面就以第（3）小题的变式为例来加以说明．变式：（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售1件商品就捐赠2.6元利润给希望工程．预测前20天中哪1天扣除捐赠后的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？分析：构造前20天扣除捐赠后的日销售利润p1（元）与时间t（天）之间的函数关系式为p1=（-2t+96）14t+25-20-2.6=-12（t-19.2）2+414.72（其中1≤t≤20，且t为整数），顶点（19.2，414.72）不在散点图象上.因此，顶点纵坐标不能作为函数的最值．因为图象开口向下，且对称轴为直线t=19.2，t=19和t=20所对应的两点在对称轴的两侧，且t=19所对应的点要比t=20所对应的点更为靠近对称轴，所以根据抛物线的对称性可知，当t=19时，函数p1取得最大值（如图2）．解：（3）p1=（-2t+96）14t+25-20-2.6=-12（t-19.2）2+414.72，对称轴为t=19.2.因为t为整数，所以当t=19时，p1取得最大值，最大值为414.7（元）．t=14+2a1920tOp1图1t=19.21920tOp1图2JIETIYANJIU解题研究66①若点A、B在直线l的同侧，试在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：如图11，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P.ABPB′l图11ABCEPD图12②在等边△ABC中，AB=2，E是AB的中点，AD是高，试在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．作法如下：如图12，作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用.如图13，已知⊙O的直径CD的长为4，弧AD的度数为60，B是弧AD的中点，试在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．OABCD图13DACB图14（3）拓展延伸.如图14，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．【说明】牛顿认为，没有猜想就没有伟大的发现，“瞄准”不变元素进行大胆猜想，探究内在联系，细心论证，在新的结论和发现中，学生的数学素养将会得到质的飞跃.习题的生长策略很多，如叠加式生长题组、并联式生长题组等，在此仅抛砖引玉，为促进学生的发展做一点探索性尝试.参考文献：［1］景敏，周静.中考试题的类比推理能力考法分析［J］.中国数学教育（初中版），2010（4）：36-39，40.［2］陈开金.例析变式题组的层级设计［J］.中国数学教育（初中版），2010（3）：42-45，46.［3］王锋.开发习题资源链接中考命题［J］.中国数学教育（初中版），2010（7/8）：57-61.所以前20天中第19天扣除捐赠后的日销售利润最大，最大日销售利润为414.7元．2．反思：此题有哪些教学价值教师研究问题是为了在教学中练题、讲题，我们要提高练题、讲题的效率就一定要思考该题有哪些教学价值，无教学价值的问题我们应理性摒弃．此题的教学价值我们可以用“一个趋势、两个思想、三种类型”来概括．（1）一个趋势：二次函数题的命题趋势.中考试卷中二次函数的考查方式有一个变化的过程．过去注重将二次函数与三角形、四边形、圆等知识结合起来，考查学生的综合应用能力，这样考查的弊端是“过度解析化”，过于注重解题技巧的考查，“人为拼凑”的痕迹严重，而且与《数学课程标准》、教材的教学要求严重脱节．近年来，中考对二次函数的考查开始回归自然、回归函数的本质，重视对函数建模思想和二次函数对称性、增减性及最值等主要性质实际应用的考查，较好的体现了“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”这一知识形成与应用过程，对一线教师起到了正确的导向作用．此题就是一道体现这种趋势的二次函数应用题．（2）两个思想：函数建模思想和数形结合思想.数学思想的重要性无需再多赘言，我们解题、讲题都要渗透、反思、揭示数学思想．在此题及拓展变式问题的解决过程中，函数建模思想和数形结合思想这两种数学思想方法得到了充分的、淋漓尽致的体现和应用．（3）三种类型：二次函数最值问题的三种类型.我们反对人为的、拼凑的题型教学，反对一味的、大运动量的“刺激—反应”式的题型训练，但此题及其变式拓展非常自然、非常典型地集二次函数最值问题的三种类型于一体，有必要引导学生进行归纳总结．二次函数最值问题的三种类型是：①由顶点确定最值；②在二次函数单调区间内确定最值；③根据对称性确定最值．这里有必要强调的是，我们要在数学思想的高位指导下强化最值问题的解题策略、解题思路的成因分析，淡化对类型的机械记忆与模仿．参考文献：［1］中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.［2］王国维．人间词话［M］．南京：江苏文艺出版社，2007．［3］俞剑波，周海红．重视基础知识坚持能力立意关注教学导向［J］．中国数学教育（初中版），2010（10）：43-46.［4］陶继新，蒋志明．探寻基础教育均衡发展之道［N］．中国教育报，2010-7-3（第03版）．［5］张平.基于不同版本教材比较的教学设计及建议：以“二次函数的图象与性质”为例［J］.中国数学教育（初中版），2010（6）：19－21.（上接第37页）∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠JI