一次二阶矩分析方法

1北京航空航天大学工程系统工程系机械可靠性设计分析（第七部分）张建国2主要内容™简介和基本概念‡为什么要“一次二阶矩法”‡结构安全性、可靠性相关标准‡安全余量和功能函数‡极限状态方程和基本随机变量‡极限状态方程‡可靠度‡设计验算点‡可靠度系数™一次二阶矩‡均值点法‡验算点法™算例3为什么要“一次二阶矩法”™可靠性计算中的难点‡计算可靠度首先要知道应力和强度的分布，但在工程上要得到应力和强度的分布很困难。‡可靠性与很多的随机变量有关，变量之间不仅是和或差的关系，此时计算可靠度就更为复杂。‡对于函数的一般式泰勒线性展开，简化函数关系。™针对以上情况，工程上广泛应用近似概率仿真方法计算可靠度，其中一次二阶矩方法在机械、结构可靠性领域得到了广泛应用。经过几十年研究发展已经成为世界各国结构安全标准、规范的基础。()()0,,,21===nxxxgXgZL4结构安全性、可靠性相关标准™从安全系数法改造为以可靠性理论为基础的设计规范™现正在从构件级向结构体系可靠性规范发展目前世界各国的工程部门正在致力于这种新规范的建立，并上升为标准‡1973《结构安全性验证总原则》‡1986《结构可靠性总原则》‡1998进一步修订为《结构可靠度总则》（以我国为例）‡1984中国建设部《建筑结构设计统一标准》（GBJ68-84）‡1992中国工程建设标准化协会《工程结构可靠度设计统一标准》（GB501.53-92）‡1992《港口工程结构可靠度设计统一标准》（GB501.58-92）‡1994《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》(GB50199-94)‡1994《铁路工程结构可靠度设计统一标准》(GB50216-94)‡1999《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GB/J50283-1999）5安全余量和功能函数™安全余量和功能函数‡强度大于应力的量称为安全余量，其可表示为抗力与载荷的差Z=r-l式中l——抗力；r——载荷‡功能函数zZ=r-l又称为功能函数，是基本随机变量的函数z每个功能函数与故障模式对应zZ0：可靠、安全zZ0：故障、失效机械零件失效变形失效断裂失效过量弹性变形失效过量塑性变形失效脆性断裂失效塑性断裂失效环境介质引起的断裂（应力腐蚀、氢脆断裂等）疲劳断裂低周疲劳高周疲劳腐蚀疲劳热疲劳高温疲劳冲击断裂蠕变持久断裂磨损失效腐蚀失效均匀腐蚀局部腐蚀氧化磨损粘着磨损磨粒磨损接触疲劳6极限状态™极限状态‡‡两态性假设两态性假设zz安全安全zz失效失效‡当安全余量等于零时，表示处于安全和失效转换的临界状态，此时有Z=Z=g(r,lg(r,l)=)=rr--ll=0=0安全lr失效lr极限状态0=−=lrMlro457极限状态方程和基本随机变量™极限状态方程一般形式‡抗力r和载荷l是基本随机变量的函数，所以极限状态方程是随机变量的函数，有式中‡xi影响抗力r和载荷l的基本随机变量‡如尺寸、质量、载荷、物理量和环境应力等()()0,,,21===nxxxgXgZLMaterialPropertyLoadingBoundaryCondition8极限状态方程™在几何上，以上极限状态方程是一个n维超曲面‡g(X)0一侧，处于安全状态；‡g(X)0一侧，处于失效状态；‡g(X)=0的n维超曲面为失效面。1X2X()g0=X极限状态()g0X失效域()g0X可靠域O()000g⎧⎪=⎨⎪⎩X失效状态极限状态可靠状态9可靠度根据概率论，可靠度为计算在()0gX可靠域上的多重积分：()()()12120,,nngRIgfxxxdxdxdx=⎡⎤⎣⎦∫∫XXLLL当()0gX时，()01Ig=⎡⎤⎣⎦X；当()0gX时，()00Ig≤=⎡⎤⎣⎦X。()12,nfxxxL——尺寸、质量、主动力（矩）、阻抗力（矩）、环境因素等全部相关随机变量的联合分布密度函数；各随机变量的分布类型可以是多种多样的，且随机变量以不同程度相关10设计验算点™设计验算点定义：‡独立的、标准正态坐标系中的一个分布矢量u。在u空间中，联合概率分布密度函数（PDF）是以绕原点轴对称的，并且随到原点的距离的平方的增加而指数递减。对于二参数的情形，概率分布密度函数PDF为钟形曲面‡可以用当量正态法将g(X)变换g(u)到。此时，设计验算点u*到坐标原点（u＝0）的距离为坐标原点到极限状态曲面（g(u)=0）的最短距离‡因为在u空间内，任意点处联合概率分布密度函数与平方之和确定距离）成正比。因此，当距离取最小时，密度为最大。β(){}222215.0expnuuu+++−L11可靠度系数TransformationtostandardnormalLinearapproximationtog(u)()()11XXuFxxFu−−⎡⎤=Φ⎣⎦⎡⎤=Φ⎣⎦()[]*01()niiiifguaauupβ==+−≈Φ−∑βΦ(−β)12一次二阶矩法™一次二阶矩法‡把极限状态方程泰勒展开，取一次线性项‡利用矩法和基本随机变量的均值（一阶矩）和标准差（二阶矩），计算功能函数ZZ大于零的概率——可靠度。12nZ1σ2σnσZσ1x2xnxZ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=Φ=ZZRσμβ13线性方程的均值点法线性方程的一般形式()010=+==∑=iniixaaXgZ式中()niaai,,2,10L=和为常数，()nixi,,2,1L=为服从正态分布的随机变量，且变量之间无关。根据正态随机变量的性质，ixniiZaaμμ∑=+=10，()∑==nixiZia122σσ，()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=Φ=ZZRσμβ14非线性方程的均值点法均值点法将极限状态方程在均值点线性展开()()()iiniiiixniinxaaxxggZiiμμ∂∂μμμμ−+=−+≈∑∑===10121,,,L这里()ngaμμμ,,,210L=，iixiixgaμ∂∂==，()ni,,2,1L=。,0aZ≈μ()∑=≈niiiZa12σσ，ZZμβσ=15均值点法™均值点法的最大特点是计算简便，不需进行过多的数值计算™缺陷：‡不能考虑随机变量的分布概型，只是直接取用随机变量的一阶矩和二阶矩；‡将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲面；™由均值点法计算的结果比较粗糙，一般常用于结构可靠度要求不高的情况16均值点法™〔例〕：某结构构件正截面强度的功能函数为，其中抗力R服从对数正态分布，平均值，变异系数；载荷效益S服从极值Ⅰ型，平均值，变异系数。试用均值点法求结构构件的失效概率和可靠指标。〔解〕：抗力R和载荷效应S的标准差分别为()SRSRgZ−==,mkNR•=100μ12.0=RδmkNS•=50μ15.0=Sδ5.715.0501212.0100=×===×==SSSRRRδμσδμσ17均值点法结构可靠指标结构失效概率533.35.712501002222=+−=+−=SRSRσσμμβ()()410078.2533.3−×=−Φ=−Φ=βfP18均值点法例：承受轴向拉力F=105N（考虑为常量）的圆形杆件，圆杆直径d，屈服极限r，mmd30=μ，mmd3=σ，MPar290=μ，MPar25=σ，求杆件的可靠度。解：极限方程为：04),(2=−==FrddrfYπ35.244644104989====YYσμβ()()()9906.035.2=Φ=Φ=βtRNNdYrYYDNNFfYErdddrdrYrddrYrdr4464429030233042524)(104989102903044),()(212222122222212,22,2522=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××+⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂≈==−××=−=≈=ππμμπσμπσσσσπμμπμμμμμμμ19验算点法验算点法1）正态变量线性极限状态方程假设功能函数式（10-15）中的r与l为相互独立的正态分布变量，现对其进行标准化变换如下⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫−=−=rlrllrrllσμσμˆˆ（10-18）将上式带入极限状态方程（10-15），得()0ˆˆ=−+−lrlrlrμμσσ（10-19）20验算点法在座标系lorˆˆˆ中，上式代表一条直线（见）。从解析几何知，在座标系lorˆˆˆ中原点oˆ到该直线的距离为22ˆlrlrpoσσμμ+−=∗（10-20）∗=poˆβ（10-21）根据解析几何知，直线ˆop∗对座标轴的方向余弦为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+−=+−=22ˆ22ˆcoscoslrlllrrrσσσθσσσθ（10-22）图10-421验算点法rrσllσoˆ∗Prrrσμ−lllσμ−lˆθrˆθ()0ˆˆ=−+−lrlrlrμμσσrrσμllσμ22验算点法∗p的座标为⎪⎭⎪⎬⎫====∗∗∗∗rrllporpolˆˆˆˆcoscosˆˆcoscosˆˆθβθθβθ（10-23）∗p在极限状态方程代表的直线上，满足极限状态方程，称其为“设计验算点”。根据上式计算“设计验算点”座标如下()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+−=+−=∗∗2222lrrlllrrlrlrσσμμσσσμμσ（10-24）23验算点法当极限状态方程为线性方程的一般形式时，有()iniixaaXgZ∑=+==10（10-25）式中()niaai,,2,10L=和为常数，()nixi,,2,1L=为服从正态分布的随机变量，且变量之间无关，相应的极限状态方程为()010=+==∑=iniixaaXgZ（10-26）将变量ix进行标准化变换，有iixxiixxσμ−=ˆ()ni,,2,1L=（10-27）24验算点法将上式带入极限状态方程，有()0ˆ10=++∑=nixixiiixaaμσ（10-28）则可靠性指标β为标准化变换后的座标原点到（10-28）式表示的n维超平面的距离，根据解析几何有()211210⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑==nixinixiiiaaadσμβ（10-29）所以，根据式（10-13）可靠度为25验算点法()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Φ=Φ=∑∑==211210nixinixiiiaaaRσμβ（10-30）根据正态随机变量的性质，由（10-25）式得ixniiZaaμμ∑=+=10（10-31）()∑==nixiZia122σσ（10-32）结合以上三式，有()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=Φ=ZZRσμβ（10-33）26验算点法2）非线性极限状态方程当极限状态方程为非线性时，失效面为n维超曲面，可靠性指标β为标准化正态空间的座标原点到失效面的最短距离。β的计算可由标准化正态空间的座标原点到过失效面上的∗p点的切平面的距离来近似，但点∗p未知。所以利用迭代法计算标准化正态空间的座标原点到过失效面上的∗p点的切平面的距离中的最小值，即是所求的解。27验算点法设()∗∗∗∗=nxxxp,,,21L为失效面上的设计验算点，将相应极限状态方程在p*点按级数线性展开，得()()()∗=∗∗∗==∗∗∗−+=−+≈∑∑∗iiniiiixxniinxxaaxxxgxxxgZii10121,,,∂∂L（10-34）这里()∗∗∗∗=nxxxga,,,210L，∗=∗=iixxiixga∂∂，()ni,,2,1L=。上式在几何上代表n维超曲面过p*点的切平面。28验算点法根据正态随机变量的和（差）性质，Z的均值与方差可表示为(),1∗=∗−≈∑iiniiZxaμμ（10-35）()()∑∑∑===∗∗≠∗+≈nininjjijijiijiiZaaa1112σσρσσ（10-36）这里μi为变量xi的均值，σi为方差，ρij为变量xi与xj的相关系数。可靠性指标β为()()()∑∑∑∑===∗∗≠∗∗∗=+−==nininjjijijiijiiiiiniZZaaaxa11121σσρσμσμβ（10-37）29验算点法第i个随机变量ix的灵敏度系数iα()(