高等数学上(同济版)第一章第五节课件

1二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则第一章函数与极限2时,有,,min21一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和也是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设,0当时,有当时,有取则当00xx22因此这说明当时,为无穷小量.3举例说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，222lim2nnnnnnnn1类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.4定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设Mu又设,0lim0xx即,0当时,有M取,,min21则当),(0xx时,就有uuMM故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.5例1.求解:01limxx利用定理2可知xxysin说明:y=0是的渐近线.6二、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有证:因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)((其中,为无穷小)于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.若7推论:若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA(P46定理5))()()(xgxfx利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令8定理4.若,)(lim,)(limBxgAxf则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.)(lim)](lim[xfCxfC(C为常数)推论2.nnxfxf])(lim[)](lim[(n为正整数)例2.设n次多项式试证).()(lim00xPxPnnxx证:)(lim0xPnxx9为无穷小B2B1)(1xg)(0xx定理5.若,)(lim,)(limBxgAxf且B≠0,则有证:因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BABA)(1BB)(AB无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得BAxgxf)()(为无穷小,10定理6.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA11x=3时分母为0!31lim3xxx例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:)(lim0xRxx)(lim)(lim00xQxPxxxx说明:若不能直接用商的运算法则.例4.)3)(3()1)(3(lim3xxxxx若12例5.求解:x=1时3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因13例6.求解:时,分子22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则分母原式14一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb11015三、复合函数的极限运算法则定理7.设时,(),gxa又则有证:,0,0当au0时,有Auf)(,02当200xx时,有()gxa对上述取,,min21则当00xx时()gxa故0Auf)(,①因此①式成立.且存在使得当x满足16说明:若定理中0lim(),xxgx则类似可得0lim[()]xxfgxlim()ufuA定理7.设时,(),gxa又则有且存在使得当x满足17例7.求解:令932xxu已知ux3lim61(见P47例3)故原式=6166(见P34例5)18例8.求解:方法1,xu则,1lim1ux令11112uuxx1u故原式)1(lim1uu2方法21)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx219内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(分母不为0)0)2xx时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th720思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问213.求解法1原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法2令,1xttttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt0t224.试确定常数a使解:令,1xt则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此23作业P491(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)524备用题设解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见是多项式,且求)(lim0xbax故