高考专项训练21.数列大题专项训练

一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．2．（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．3．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．5．（2011•上海）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{cn}的通项公式．6．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011•江西）（1）已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{an}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．（I）求数列{bn}的通项公式；（II）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．9．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．10．（2011•安徽）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．11．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．13．（2010•四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．14．（2010•陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn．15．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列的前n项和Sn．16．（2010•江西）正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差数列．（1）证明数列{an}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．17．（2009•陕西）已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．18．（2009•山东）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=n∈N*求数列{bn}的前n项和Tn．19．（2009•江西）数列{an}的通项，其前n项和为Sn，（1）求Sn；（2），求数列{bn}的前n项和Tn．20．（2009•辽宁）等比数列{an}的前n项和为sn，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求sn．21．（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．22．（2009•福建）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．23．（2009•安徽）已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2﹣bn（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an2•bn，证明：当且仅当n≥3时，cn+1＜cn．24．（2009•北京）设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008•浙江）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．26．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．27．（2008•四川）在数列{an}中，a1=1，．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn．28．（2008•陕西）已知数列{an}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．29．（2008•辽宁）在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn．若a1=2，，求数列{cn}的前n项和．30．（2008•辽宁）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。专题：计算题；分类讨论。分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，∴bn+1﹣bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴an+1﹣an=2n﹣7，∴bn+1﹣bn=，由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．∴bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b3﹣b2=（﹣1）（22+2），…bn﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．当n=2k时，以上各式相加得bn﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+．∴bn==++．当n=2k﹣1时，=++﹣（2n+n）=﹣﹣+∴bn=．点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用．是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目．2．（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．考点：等比数列的通项公式；数列的求和。专题：计算题。分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．3．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．考点：数列与不等式的综合；数列递推式。专题：综合题。分析：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤an﹣1≤．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，∴Sn≠1，an+1≠1，且，又从而对k≥3，有0≤ak≤．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An