第一部分：最优控制

现代控制理论A时间:1-8周.周一第2讲,周四第1讲地点:X2225,X2226任课教师:汪晓宁主要内容•最优控制理论•系统辩识与自适应控制•状态估计,LQG控制与H∞鲁棒控制教材及主要参考书•张汉全等,自动控制理论新编教程•K.Ogata,“ModernControlEngineering”,Prentice-Hall•王远声,现代控制理论(简明教程),北航出版社•张志涌,精通MATLAB5.3,北航出版社第一部分:最优控制•绪论–最优化与最优控制概述•最优化方法在数学上是一种求极值的方法•最优控制系统是指系统在满足动态方程的条件下,应选择什么样的控制变量序列(控制函数),使系统从初始状态能以某种最优的性能指标要求转移到规定的终态•最优化方法是一种数学方法,而不是工程方法,它与应用数学,计算机科学及各专业领域都有密切关系•最优化包括静态最优化和动态最优化两部分–动态(线性规划,整数规划,非线性规划)–动态(最优控制)绪论–最优控制问题举例•飞船的月球软着陆问题•最快拦截问题–最优控制问题的提法•受控动态系统的数学模型•动态系统的初态与终态•一个衡量”控制作用”效果的性能指标•一个容许控制的集合第一章:变分法及其在最优控制中的应用•变分法的基本概念–泛函–容许函数类(空间)–泛函的极值•定义:如果泛函在任何一条与接近的曲线值的值不小于,即,则称泛函在曲线上达到极小值.•“接近”–泛函的极值条件xyJxyy0xyJ000xyJxyJxy0xyJ变分法的基本概念–泛函的极值条件•宗量的变分•泛函的连续性•线性泛函•泛函的变分xyJ若连续泛函的增量可以表示为xyxyxyxyLxyJxyxyJJ,,其中等式右边第一项是的线性连续泛函,第二项是关于的高阶无穷小,则就将第一项叫做泛函的变分.记为:xyxyxyxyLJ,变分法的基本概念–引理:xyJ泛函的变分0axyaxyJaJ第一章:变分法及其在最优控制中的应用•欧拉方程–古典变分学的三个基本问题•拉格郎日问题从容许函数类(空间)中求一函数,使泛函取极小值的变分问题•波尔扎问题从容许函数类(空间)中求一函数,使泛函取极小值的变分问题fttdtttxtxLJ0,,txtxfttffdtttxtxLttxJ0,,,第一章:变分法及其在最优控制中的应用•麦耶耳问题从容许函数类(空间)中求一函数,使泛函取极小值的变分问题txffttxJ,拉格郎日和麦耶耳问题都可以看成是波尔扎问题的特殊情况.第一章:变分法及其在最优控制中的应用•欧拉方程_泛函极值的必要条件tx设已知轨线的起点00xtx和终点ffxtx使性能泛函fttdtttxtxLtxJ0,,取极值的必要条件是轨线tx为二阶微分方程0txLdtdtxL的解.欧拉方程•注意:–应有连续的二阶导数,而则至少应有两次连续可微.–欧拉方程的解叫做极值曲线,只有在极值曲线上的泛函才可能达到极小(或极大值)–对于现在讨论的两个端点固定情况,正好可以利用两个边界条件,将积分常数确定出来.–欧拉方程只是确定了极值的必要条件txttxtxL,,tx欧拉方程的积分法求解•被积函数不依赖于•被积函数是的线性函数•被积函数仅依赖于•被积函数仅依赖于和•被积函数仅依赖于和txxL,,xtxxtxxL,,txxL,,txxL,,xxxtxxL,,横截条件0fttxxLLtx横截条件----解决欧拉方程两个端点不固定问题注意:•上式建立了极值曲线末态斜率与给定约束曲线斜率之间的关系;•该横截条件是在终态时刻可变情况的,当容许曲线的始端也不固定时,如初态只能沿着给定曲线变动时,同理可推出始端横截条件;ftt00ttxxLLt0tx•当和固定,而和变化时,横截条件退化为:ft0t0txftx0fttxL00ttxL和横截条件总结:•泛函的极值的必要条件首先应满足欧拉方程;•欧拉方程通解中的两个积分常数由横截条件确定;•当容许曲线的端点中任何一点为固定点时,其相应横截条件自动失效,确定积分常数的横截条件改为该点的边界条件确定.等式约束条件下的变分问题–等式约束条件下的变分问题•对于给定的泛函fttdttxxLJ0,,求其在等式约束0,,txx对所有fttt,0条件下的极值引入拉格朗日乘子法,将泛函的条件极值转化为无条件极值问题存在适当的待定m维乘子向量函数t使泛函dtttxtxtttxtxLJfttT0,,,,1达到无条件极值.即函数是的解tx0xHdtdxHtxxtxxLtxxHT,,,,,,,其中最优控制问题求解–最优控制问题的提法ftttUtu,,0寻找一容许控制使受控系统tuxfx,,由初始状态00xtx出发,在某一末态时刻0ttf转移到目标集M:0,,0,21ffffttxgttxg使性能指标泛函fttffdtttxtxLttxuJ0,,,为极小.最优控制问题求解–终端状态不受约束时泛函极值必要条件•满足规范方程•边值条件•极值条件xfxLxHttuxfHtxT,,fffftxttxtxtx,000uH其中tuxfttuxLtuxHT,,,,,,,称为哈密顿函数终端状态不受约束•分析–规范方程(2n个一阶微分方程)通过极值条件(r个代数方程)成为变量互为偶合的微分方程组,其边界条件一部分是初始条件,另一部分是终端条件;–哈密顿函数的一个重要性质tHdtdH最优控制问题求解•终端状态受约束–终态时刻固定•终态固定•终端状态受约束0,1ffttxg最优控制问题求解•终端状态受约束–终态固定,终态时刻固定xfxLxHttuxfHtxT,,•满足规范方程•边值条件•极值条件ffxtxxtx000uH最优控制问题求解•终端状态受约束–终态时刻固定,终端状态受约束0,1ffttxgxfxLxHttuxfHtxT,,•满足规范方程•边值条件•极值条件0,1100fffTffttxgtxgtxtxtx0uH终端状态受约束(终态时刻固定,终端状态受约束)0,1ffttxg•说明:•终端约束不影响规范方程,只改变边值条件•2n+k个边界条件方程,可以确定2n个边界条件和k个待定乘子最优控制问题求解•终端状态受约束–终态时刻未定•末态固定•末态受约束•末态自由0ftx终态时刻未定txtftffdtt0tftxftxffdttxtxtx0fffffffdttxtxtxtxtxtxtxtxtx,,终端状态受约束(终态时刻未定,末态自由)ffffffftttxtttutxH,,,,xfxLxHttuxfHtxT,,•满足规范方程•边值条件•极值条件•哈密顿函数在最优轨线的末端应满足fffftxttxtxtx,000uH末态给定ffxtx0ftx末态受约束000fttTftxxxtxtxffttfTfttH极小值原理riui,,2,1,或:,2,1,0iuMi•背景•控制信号•要求微分条件存在uH前面研究的是控制变量无约束的最优控制,即以系统的状态方程作为等式约束,或系统的末端状态受某一等式约束的最优控制.现在所要研究的是控制变量受一不等式约束的最优控制问题,解决的有效工具是庞特里亚金的极小值原理.极小值原理•连续系统的极小值原理•终端时刻未定,终端状态受等式约束,mRtu寻找一容许控制使受控系统tuxfx,,由初始状态00xtx出发,在某一末态时刻0ttf转移到终态:,0,ffttx使性能指标泛函fttffdtttxtxLttxuJ0,,,为极小.且受不等式约束0,,ttutxg极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)tu•关键:•如何处理控制变量的不等式约束?设法将不等式约束人为地化为等式约束,并用一个新的连续函数取代分段连续函数.0,0,,,002twtuwtzttutxgz极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)ttutxgzttxttutxftxff,,0,,,2•转化为三种约束:•新的性能指标fttTTffTffdtzttwtxgxttwtxfttwtxLttxttxJ021,,,,,,,,极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)•最优控制求解的必要条件ffffffftttxtttutxH,,,,xfxLxHttuxfHtxT,,•满足规范方程•边值条件•在最优轨线上与最优控制对应的H函数取极小值•哈密顿函数在最优轨线的末端应满足0,,00fffTfffffttxtxtxtxttxtxtxtuxHtuxHu,,,,,,min极小值原理•终态的不同状态,得出对应的最优控制求解的必要条件•终态时刻未定,终态固定•终态时刻未定,终态自由•终态时刻固定,终态自由•终态时刻固定,终态固定•终态时刻固定,终态受一等式约束线性二次型最优调节器•概述dtteJtytyter02tCxtytButAxtx0tyr偏差信号性能指标若则0202dttydtteJtyt0ty2t0概述dttutQxxdttutCxCxJdttutyJTTT0202022单输入系统:dttutRtutQxtxtFxTxJ