七年级同步第4讲：幂的运算(一)---教师版

1/21七年级暑假班《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．幂的运算（一））知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲内容分析班假暑级年七2/211、幂的运算概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在na中，a叫做底数，n叫做指数．含义：na中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，na表示有n个a连续相乘．例如：53表示33333，53表示33333，53表示33333，527表示2222277777，527表示222227．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：(3)3；(3)3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：239，3327．特别地：当n为奇数时，nnaa；而当n为偶数时，nnaa．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：mnmnaaa（,mn都是正整数）．例题解析3/21七年级暑假班【例1】下列各式正确吗？不正确的请加以改正．（1）347()()xxx；（2）246()()xxx；（3）121mmmaaa；（4）5552bbb；（5）4610bbb；（6）55102xxx；（7）5525xxx；（8）33ccc．【难度】★【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：4626xxxx；（3）不正确，正确为：12121mmmmaaaa；（4）不正确，正确为：5510bbb；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为：5510xxx；（7）不正确，正确为：5510xxx；（8）不正确，正确为：34ccc．【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号．【例2】计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）567(2)(2)(2)；（2）23aaa；（3）24()()abab；（4）235()()()xyxyxy．【难度】★【答案】（1）182；（2）6a；（3）6ab；（4）10xy．班假暑级年七4/21【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．【例3】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）334333xxxxxxxx；（2）3224aaaaa；（3）12211mnmnmnaaaaaa．【难度】★【答案】（1）73x；（2）0；（3）13mna．【解析】（1）原式77773xxxx；（2）原式660aa；（3）原式11113mnmnmnmnaaaa．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算．【例4】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）332aaa；（2）23xyyx；（3）212222mmxyxyxy．【难度】★★【答案】（1）8a；（2）5yx；（3）232mxy．【解析】（1）原式358aaa；（2）原式235()()()yxyxyx；（3）原式21223(2)mmmxya．5/21七年级暑假班【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．【例5】如果2111mnnxxx，且145mnyyy，试求m、n的值．【难度】★★【答案】64mn，．【解析】根据同底数幂的计算法则，可得2111145mnnmn，解方程组得64mn．【总结】考查同底数幂相乘的运算法则．【例6】求值：（1）已知：29mnnmxxx，求59n的值．（2）已知：4233x，求x的值．【难度】★★【答案】（1）116；（2）2．【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得29mnnm，解得3n，359116；（2）422333x，可得42x，解得2x．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等．模块二：幂的乘方班假暑级年七6/211、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()mnmnaa（m、n都是正整数）【例7】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）42a；（2）24()a；（3）2()nna；（4）832；（5）432；（6）33b；（7）43x；（8）323()()xyxy．【难度】★【答案】（1）8a；（2）8a；（3）22na；（4）242；（5）122；（6）9b；（7）12x；（8）9xy．【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算．【例8】当正整数n分别满足什么条件时，,nnnnaaaa？【难度】★【答案】n为偶数时，nnaa；n为奇数时，nnaa．【解析】幂的运算中，奇负偶正．例题解析知识精讲7/21七年级暑假班【例9】已知：2na（n为正整数），求2223nnaa的值．【难度】★★【答案】48．【解析】原式=4646462248nnnnaaaa．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算，以及运算中整体思想的应用．【例10】计算（1）2122nnnaaa；（2）3834222632xxxxx．【难度】★★【答案】（1）223na；（2）0【解析】（1）原式22222223nnnaaa；（2）原式18181820xxx．【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例11】计算：（1）22121nnnabbaab；（2）3223abba．【难度】★★班假暑级年七8/21【答案】（1）61nab；（2）0．【解析】（1）原式2222161()()()()nnnnabababab；（2）原式66()()0abab．【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例12】已知23mnaa，，求23mna的值．【难度】★★【答案】108．【解析】2323232323108mnmnmnaaaaa．【总结】本题注意考查幂的乘方运算中整体思想的应用．1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：nnnabab（n是正整数）3、积的乘方的逆用：()nnnabab．模块三：积的乘方知识精讲9/21七年级暑假班【例13】计算：（1）333mn；（2）43213ab；（3）32242ab；（4）541103．【难度】★【答案】（1）9327mn；（2）128181ab；（3）61264ab；（4）2010243．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．【例14】计算：（1）342(-)ab；（2）3532()4xy；（3）23[()]ab．【难度】★【答案】（1）68ab；（2）91518xy；（3）6ab．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．例题解析班假暑级年七10/21【例15】计算：（1）233232xx；（2）32223332xyxy；（3）433648abab；（4）232()[()]abba．【难度】★【答案】（1）617x；（2）66xy；（3）0；（4）8ab．【解析】（1）原式6669817xxx；（2）原式66666632xyxyxy；（3）原式122412240abab；（4）原式268()()()ababab．【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例16】计算：（1）32332()()yyy；（2）2323[()]aaa；（3）3222632xyxy．【难度】★★【答案】（1）15y；（2）11a；（3）12665xy．【解析】（1）原式26615yyyy；（2）原式5611aaa；（3）原式1261261266465xyxyxy．11/21七年级暑假班【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例17】用简便方法计算：（1）818139；（2）66720030.1252；（3）128184；（4）61245．【难度】★★【答案】（1）9；（2）4；（3）1；（4）1210．【解析】（1）原式=888928111399999999；（2）原式=6676676676672001230.125220.125240.125844；（3）原式=1212121281232421111222414444；（4）原式=61221212121225252510．【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字．【例18】简便计算：（1）16170.1258；（2）20022001513135；（3）315150.1252．【难度】★★班假暑级年七12/21【答案】（1）8；（2）513；（3）1．【解析】（1）原式=1616160.125880.125888；（2）原式=200120012001551355135131351313513；（3）原式=151515330.12520.12521．【总结】考查积的乘方简便运算，把握好乘方的定义，同时注意一定指数相同时才