参数方程

参数方程重点难点教材回扣夯实双基重点：参数方程的概念；直线、圆、圆锥曲线的参数方程．难点：参数方程中参数的几何意义．基础梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上___________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝fty＝gt，并且对于t的每一个允许值，任意一点由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称_______相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做___________这条曲线上参数．普通方程．2．几种常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)．思考探究在直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？(2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2间的距离？提示：(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，______________.其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα.y＝b＋rsinα(3)椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosφ，___________.其中φ是参数．y＝bsinφ椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是x＝bcosφ，___________.其中φ是参数．3．参数方程和普通方程的互化(1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式y＝asinφ(三角的或代数的)消去法．(2)化普通方程为参数方程：引入参数,即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．考点1参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，考点探究讲练互动考点突破不只是把其中的参数消去，还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．例1将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2y＝6k21＋k2；(2)x＝1－sin2θy＝sinθ＋cosθ.【解】(1)两式相除，得k＝y2x.将k＝y2x代入得x＝3·y2x1＋y2x2，∴化简所得普通方程是4x2＋y2－6y＝0，y∈[0,6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)得y2＝2－x.又∵x＝1－sin2θ∈[0,2]，∴所求普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．变式训练1．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解：因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝3x，①又因为曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，②联立①②解方程组得x＝0y＝0或x＝23，y＝6.根据x的范围应舍去x＝23，y＝6，故P点的直角坐标为(0,0)．考点2直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M1M2|及中点坐标)．例2求直线l1：x＝1＋ty＝－5＋3t和直线x－y－23＝0的交点P的坐标，及点P与Q(1，－5)间的距离．【解】将x＝1＋ty＝－5＋3t化为x＝1＋12ty＝－5＋32t，代入x－y－23＝0得t＝43，∴P(1＋23，1)．由参数t的几何意义得|PQ|＝|t|＝43.变式训练2．已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为π3.(1)求直线l的参数方程；(2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为x＝1＋t2y＝2＋32t(t为参数)．(2)将x＝1＋t2y＝2＋32t代入x2＋y2＝9，得：t2＋(1＋23)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.考点3圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．(2010·高考课标全国卷)已知直线C1：x＝1＋tcosαy＝tsinα(t为参数)，C2：x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)．例3(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2αy＝－12sinαcosα(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．变式训练3．在椭圆x216＋y212＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．解：设椭圆的参数方程为x＝4cosθy＝23sinθ，设椭圆上任一点P(4cosθ，23sinθ)，则d＝|4cosθ－43sinθ－12|5＝455|2cos(θ＋π3)－3|.当cos(θ＋π3)＝1时，dmin＝455，此时θ＝－π3.∴x＝4cos－π3＝2y＝23sin－π3＝－3，∴所求点的坐标是(2，－3)．方法感悟1．只有在a2＋b2＝1时，直线x＝x0＋aty＝y0＋bt(t为参数)中的参数t才表示由M(x0，y0)指向N(x，y)的有向线段的数量，而在a2＋b2≠1时，MN＝a2＋b2·t.2．消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围．