【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习-大题规范练2-三角函数、解三角形-文-北师大版

1高考大题规范练(二)三角函数、解三角形1．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心。解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6。数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6。(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，因此g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6。因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋π6＝kπ，解得x＝kπ2－π12，k∈Z，即y＝g(x)图像的对称中心为kπ2－π12，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－π12，0。2．(2015·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知tanπ4＋A＝2。2(1)求sin2Asin2A＋cos2A的值；(2)若B＝π4，a＝3，求△ABC的面积。解(1)由tanπ4＋A＝2，得tanA＝13，所以sin2Asin2A＋cos2A＝2tanA2tanA＋1＝25。(2)由tanA＝13，A∈(0，π)，得sinA＝1010，cosA＝31010。又由a＝3，B＝π4及正弦定理asinA＝bsinB，得b＝35。由sinC＝sin(A＋B)＝sinA＋π4得sinC＝255。设△ABC的面积为S，则S＝12absinC＝9。3．(2015·潍坊3月模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx－π6－4sin2ωx＋2(ω0)，其图像与x轴相邻两个交点的距离为π2。(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点－π3，0，求当m取得最小值时，g(x)在－π6，7π12上的单调递增区间。解(1)函数f(x)＝sin2ωx－π6－4sin2ωx＋2＝32sin2ωx－12cos2ωx－4×1－cos2ωx2＋2＝32sin2ωx＋32cos2ωx＝3sin2ωx＋π3(ω0)，根据函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f(x)的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1。故函数f(x)＝3sin2x＋π3。(2)将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)＝3sinx＋m＋π3＝3sin2x＋2m＋π3的图像，根据g(x)的图像恰好经过点－π3，0，3可得3sin－2π3＋2m＋π3＝0，即sin2m－π3＝0，所以2m－π3＝kπ(k∈Z)，m＝kπ2＋π6(k∈Z)，因为m0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为π6。此时，g(x)＝3sin2x＋2π3。令2kπ－π2≤2x＋2π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－7π12≤x≤kπ－π12，k∈Z，故函数g(x)的单调递增区间为kπ－7π12，kπ－π12，k∈Z。结合x∈－π6，7π12，可得g(x)在－π6，7π12上的单调递增区间为－π6，－π12和5π12，7π12。4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2。(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值。解(1)∵m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，且m⊥n，∴m·n＝22，－22·(sinx，cosx)＝22sinx－22cosx＝sinx－π4＝0。又x∈0，π2，∴x－π4∈－π4，π4。∴x－π4＝0，即x＝π4。∴tanx＝tanπ4＝1。(2)由(1)和已知得cosπ3＝m·n|m|·|n|4＝sinx－π4222＋－222·sin2x＋cos2x＝sinx－π4＝12，又x－π4∈－π4，π4，∴x－π4＝π6，即x＝5π12。5．(2015·杭州一检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知cos2A＋32＝2cosA。(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围。解(1)根据二倍角公式：cos2x＝2cos2x－1，得2cos2A＋12＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，所以cosA＝12。因为0Aπ，所以A＝π3。(2)根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC，得b＝23sinB，c＝23sinC，所以l＝1＋b＋c＝1＋23(sinB＋sinC)。因为A＝π3，所以B＋C＝2π3，所以l＝1＋23sinB＋sin2π3－B＝1＋2sinB＋π6。因为0B2π3，所以l∈(2,3]。6．(2015·山东卷)设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4。(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值。5解(1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12。由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z。所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)。(2)由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，由题意知A为锐角，所以cosA＝32。由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，且当b＝c时取等号。因此12bcsinA≤2＋34，所以△ABC面积的最大值为2＋34。