13.3.2.等边三角形的性质与判定

12.3.2等边三角形名称图形性质判定等腰三角形ABC等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形知识回顾等边三角形:(正三角形)三条边都相等的三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.学习园地等腰三角形等边三角形ABCAB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：①从边看；②从角看；③从重要线段看1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?ABC∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C(在同一个三角形中等边对等角)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°探索星空：探究性质一2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角等于60°。等边三角形性质定理1.等边三角形的三条边都相等。等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?ABC探究性质二：3.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的平分线互相重合。(三线合一)等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？结论:等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.（对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线）探究性质三：等边三角形的性质3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.1.等边三角形的三条边都相等。三个内角都相等,并且每一个内角等于60°2.三线合一，且相等。△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED小试牛刀△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠ABC=∠A=∠ACB=60°∴∠DBC=∠E∴BD=DE（等角对等边）∵CE=CD∴∠CDE=∠E=1/2∠ACB=30°（等边对等角）∵AB＝AC,D为AC的中点∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=30°（三线合一）ABC怎样判断三角形ABC是等边三角形？方法一：三角形的三边考虑；方法三：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。方法二：三角形的三角考虑；你能说明理由吗？等边三角形的判定方法:1.三边都相等的三角形是等边三角形.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.请你自己证明这些结论!三条边都相等的三角形是等边三角形。判定1：ABC三个角都相等的三角形是等边三角形。已知：∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC∵∠A=∠B∴AC=BC∵∠B=∠C∴AB=AC∴AB=AC=BC证明：几何语言：∵∠A=∠B=∠C∴AB=AC=BC判定2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。ABC已知：AB=AC，∠A=60。。求证：AB=AC=BC证明：∵AB=AC,∠A=60。∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60。∴∠A=∠B=∠C∴AB=AC=BC数学格式:∵AB=AC,∠A=60。∴AB=AC=BC判定3：12等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.名称图形性质等边三角形等边三角形的性质:ABC三个角都相等，且都为60°三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴名称图形判定等边三角形等边三角形的判定:ABC三个角都等于60°的三角形三条边都相等的三角形有一个角等于60°的等腰三角形等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗?定义性质判定等腰三角形等边三角形有两条边相等1、两边、两角相等2、三线合一3、一条对称轴1、三边、三角相等2、三线合一3、三条对称轴有三条边相等1、定义2、等角对等边1、定义2、三个角都相等3、等腰三角形有一个角是600如图，△ABC是等边三角形，ED∥BC，分别交AB,AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形。ACEBD动脑思考，例题解析证明：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴∠A=∠ADE=∠AED∴△ADE是等边三角形。你还有其它方法使△ADE是等边三角形吗？动脑思考，变式训练变式1若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC练习：1.下列说法中,正确说法的个数为()①若等腰三角形有一个角等于60°,则这个三角形为等边三角形②等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形③有两个角是60°的三角形一定是等三角形④等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是3条A.1个B.2个C.3个D.4个2．已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小．如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF。求证：△DEF是等边三角形。ABCDEF如图,在△ABC中,AB=AC=BC,CD是∠ACB的平分线,过点D作DE∥BC交AC于点E,若△ABC的边长为a,则△ADE的周长是()A.2aB.aC.aD.a1232ABCDE如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m．他们的结论对吗？如图所示，等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足是点M。求证：M是BE的中点。