课标全国卷数学高考模拟试题精编(七)

课标全国卷数学高考模拟试题精编七【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.题号一二三选做题总分131415161718192021得分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数i2＋i3＋i41－i在复平面内对应的点与原点的距离为()A．1B.22C.2D．22．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝()A.70B．45C．35D．253．已知α，β表示两个相交的平面，直线l在平面α内且不是平面α，β的交线，则“l⊥β”是“α⊥β”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为()A．4B．23C．22D.35．已知一个数列{an}的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第(k＋1)个1之间有(2k－1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2012项中1的个数为()A．44B．45C．46D．476．(理)若函数f(x)＝fx－4，x＞02x＋∫π60cos3tdt，x≤0，则f(2012)＝()A.13B．－43C.43D.73(文)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.137．点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±4xC．y＝±25xD．y＝±26x8．(理)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是()A.16B.14C.13D.12(文)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是33，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是()A.3π2B．2πC．6πD.6π9．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3，a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．11010．若程序框图如图所示，视x为自变量，y为函数值，可得函数y＝f(x)的解析式，则f(x)＞f(2)的解集为()A．(2，＋∞)B．(4,5]C．(－∞，－2]D．(－∞，－2)∪(3.5,5]11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜12，则不等式f(x2)＜x22＋12的解集为()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋π)＝－f(x)，且当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠π2时，有x－π2f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在x∈[－2π，2π]时的零点个数是()A．2B．4C．6D．8答题栏题号123456789101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．下列命题正确的序号为________．①函数y＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5；③若命题p：对∀x∈R，都有x2－x＋2≥0，则命题綈p：∃x∈R，有x2－x＋2＜0；④若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则1a＋1b的最小值为1.14．(理)10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________种．(文)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y∧＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．15．已知a、b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则1a＋1b的最小值是________．16．已知数列{an}为等差数列，a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21，数列{1an}的前n项和为Sn，若对一切n∈N*，恒有S2n－Sn＞m16成立，则m能取到的最大正整数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)将f(x)横坐标缩短为原来的一半，再向右平移π4个单位得到g(x)，设方程g(x)－1＝0在(0，π)上的两个零点为x1，x2，求x1＋x2的值．18．(理)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；(Ⅱ)设PA＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝12BC，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：EG⊥平面BDF.19.(理)(本小题满分12分)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮．据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统．某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，租车费用实行分段合计．现有甲、乙两人相互独立到租车点租车上班(各租一车一次)，设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为12，14，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为14，13，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为18，13，两人租车时间均不会超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．(文)(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝3，96≤x＜985，98≤x＜1044，104≤x≤106，求这批产品平均每个的利润．20.(本小题满分12分)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点．(Ⅰ)如果点A在圆x2＋y2＝c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；(Ⅱ)若函数y＝2＋logmx(m＞0且m≠1)的图象，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求F2A→·F2B→的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝1时，证明函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝12，求⊙O的半径r的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为x＝12＋tcosαy＝tsinα(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．课标全国卷高考模拟试题精编七1．Bi2＋i3＋i41－i＝－1－i＋11－i＝－i1－i＝12－12i，所以复数i2＋i3＋i41－i在复平面内对应的点12，－12与原点的距离为122＋－122＝22.2．B依题意得，m2＝－21，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝－42＋－82＝45，选B.3．A因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β；但若α⊥β，则l⊥β不一定成立，所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件．4．B依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和3的矩形，因此其侧视图的面积为23，选B.5．B依题意得，第k个1和它后面(2k－1)个2的个数之和为2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n项和等于n2＋2n2＝n(n＋1)．注意到2012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2012项中共有45个1，选B.6．(理)C依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋13sin3t|π60＝2x＋13，故f(2012)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋13＝43，选C.(文)C由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝31010.7．D设△F1PF2的三条边长为|PF1|＝3m，|PF2|＝4m，|F1F2|＝5m，则2a＝||PF1|－|PF2||＝m,2c＝|F1F2|＝5m，所以b＝6m，所以ba＝6m12m＝26，所以双曲线的渐近线方程是y＝±26x.8．(理)A不妨设取出的三个数为x，y，z(x＜y＜z)，要满足x＋y＝z，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C310种结果，故所求概率为20C310＝16.(文)C设该三棱锥的外接球球心为O，半径为R.依题意得AC⊥SM，AC⊥MB，AC⊥平面SMB，故AC⊥SB.在△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2.在△SBM中，SM＝3，MB＝12AC＝1，SB＝3＋1－2×3×1×33＝2，易知SB2＋BM2＝SM2，所以BM⊥SB，故SB⊥平面ABC.又OA＝OB＝OC，因此点O在平面ABC上的射影是点M.在直角梯形OSBM中，OB＝OS＝R，因此球心O在线段SB的垂直平分线ON(其中点N是线段SB的中点)上，由OM⊥BM，SB⊥BM，ON⊥SB得，四边形BMON是矩形，因此OB2＝BN2＋BM2＝222＋12＝32，即R2＝32，因此该三棱锥的外接球的