随机变量及其分布-正态分布

1/7正态分布知识点一、正态曲线函数f(x)＝12πσ22()2ex，x∈R的图象如图所示x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：二、正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．三、3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.2/72．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．题型一正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．【过关练习】1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．3/7题型二利用正态分布求概率【例1】设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X5)．【过关练习】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.22.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.3.设随机变量X～N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4x8)．题型三正态分布的应用【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？【过关练习】在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？4/7课后练习【补救练习】1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图2­4­2所示，则有()图2­4­2A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ22．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()A．p1p2B．p1p2C．p1＝p2D．不确定3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．5.如图2­4­3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图2­4­35/7【巩固练习】1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()【导学号：95032208】A．0.6B．0.4C．0.3D．0.22．设X～N－2，14，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是()A．95.44%B．99.73%C．4.56%D．0.26%3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξμ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σξμ＋2σ)＝95.45%.)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人？6/7【拔高练习】1.在如图2­4­4所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()图2­4­4A．2387B．2718C．3414D．4777附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9545.2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝12，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．7/75．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2­4­5(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σZμ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9545.