2.2.2(3)-直线的一般式方程.

2.2.2(2)直线的一般式方程.导入新课前几节我们学习了直线的点向式方程，点斜式方程，点法式方程，大家还记得吗?我们用这些不同的方程求出直线的方程后，都可整理成一个统一式，即Ax＋By＋C＝0(其中A，B，C为常数，A，B不全为零).这样形式的直线方程就是我们今天所研究的：直线的一般式方程直线与二元一次方程的关系由上述可知：每一条直线方程都是一个关于，的二元一次方程反过来，我们要问，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？下面我们来研究这个问题.直线与二元一次方程的关系关于x，y的二元一次方程的一般形式为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为零)(1)设(x0,y0)是方程的一个解，得Ax0＋By0＋C＝0.(2)(1)－(2)得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.(3)直线与二元一次方程的关系建立直角坐标系(图9－8)，作P0(x0,y0),n=(A,B)，方程(3)就是通过点P0，并与向量n垂直的直线方程.又因方程(1)和(3)是同解方程.因此，我们得到结论：关于x，y的二元一次方程的一般形式为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为零)的图象是一条直线.我们把这个方程叫做直线的一般式方程.因为每个二元一次方程的图象都是一条直线，所以把直线的方程就叫做直线Ax＋By＋C＝0.直线Ax＋By＋C＝0的法向量与方向向量由上述结论的证明过程，还可以得到：(1)向量n=(A,B)为直线Ax＋By＋C＝0的法向量，向量υ＝(B，-A)或(-B，A)为这条直线的方向向量.(2)由关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为零)的图象是一条直线和前面所得的结论：每一条直线的方程都是一个关于x，y的二元一次方程，表明了在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线的一一对应关系.这样，我们就可以把研究直线的几何问题转化为研究二元一次方程的代数问题.数学应用例1写出下列直线的一个法向量和一个方向向量：(1)3x－4y－1＝0；(2)2x－3＝0;(3)3y＋1＝0.解：(1)直线的一个法向量为(3，－4)，一个方向向量为(－4，3)；(2)直线的一个法向量为(2，0)，一个方向向量为(0，2)；(3)直线的一个法向量为(0，3)，一个方向向量为(3，0).总结：给直线方程的一般式，要求它的法向量和方向向量，一般先写出直线的法向量，然后由垂直向量坐标之间的关系，只要保证内积为零而写出一个方向向量就行了.数学应用例2求通过点(－2，5)，且与直线l：4x－3y＋9＝0垂直的直线方程.分析：与直线垂直，即与的法向量平行，即的法向量，可作为所求直线的方向向量，于是可用直线的点向式方程；如果求出的一个方向向量，则这个方向向量可作为所求直线的法向量，所以此题也可用直线的点法式方程来作.练习：课本P40练习T3数学应用例3求过点(3，－4)，且与直线l：3x＋7y＋9＝0平行的直线方程.课堂小结1．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为零)，向量n=(A,B)是它的法向量，向量υ＝(B，-A)或(-B，A)为这条直线的方向向量.2．在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线一一对应.若直线的方程是Ax＋By＋C＝0，则说直线Ax＋By＋C＝0.课外作业课本P22习题8—2T3