对弧长的曲线积分

机动目录上页下页返回结束一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长的曲线积分的计算四、小结思考题第一节对弧长的曲线积分机动目录上页下页返回结束回顾与展望定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分,)(badxxf],[bax—数轴上的闭区间,),(DdyxfDyx),(—平面闭区域,),,(dvzyxf),,(zyx—空间闭区域,),(LdsyxfLyx),(—平面曲线,),,(dszyxf),,(zyx—空间曲线,),,(dSzyxf),,(zyx—空间曲面机动目录上页下页返回结束一、问题的提出实例:曲线形构件的质量oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.sM线密度为常量时分割,,,,121insMMM,),(iiis取.),(iiiisM求和.),(1niiiisM取极限.),(lim10niiiisM近似值精确值取近似机动目录上页下页返回结束二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又段的长度为个小设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设1【定义】oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL即记作曲线积分第一类曲线积分或上对弧长的在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的,),(,),(,,0LdsyxfLyxf机动目录上页下页返回结束2.【存在条件】.),(,),(必定存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.【推广】曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf（充分条件）曲线形构件的质量.),(LdsyxM.Δs),ηf(ξf(x,y)dsniiiiλL10lim积分和式被积函数积分弧段(路径)弧微分机动目录上页下页返回结束【注意】)(,.121LLLL是分段光滑的若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf记为上对弧长的曲线积分在闭曲线函数—规定【思考】(1)若在L上f(x,y)≡1,?d表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.机动目录上页下页返回结束4.【性质】.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf)).((21分段光滑LLL由弧长的曲线积分定义可知有如下性质(4)与积分路径的方向无关，即与起点、终点无关.ABBAdsyxfdsyxf),(),(（补充）机动目录上页下页返回结束(5)比较性质则上设在),,(),(yxgyxfLLLdsyxgdsyxf),(),(特别地，有LLdsyxfdsyxf),(),(机动目录上页下页返回结束三、对弧长曲线积分的计算复习平面曲线的弧长公式1.直角坐标：],[),(baxxfybadxys21dxyds21——弧微分（弧长元素）即22)()(dydxds弧长公式——弧长元素其中3.极坐标：dtttds)()(222.参数方程：)()()(ttytxdttts)()(22——弧长公式——弧长元素sin)(cos)(ryrx)()(:rrLdrrs)()(22——弧长公式drrds)()(22——弧长元素机动目录上页下页返回结束【定理】)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设“三代一定”法、与方向无关对弧长曲线积分的计算——化为定积分计算【注意】;一定要小于上限定积分的下限机动目录上页下页返回结束【特殊情形】bxaxyL),(:)1(.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba)(xyxx.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc【推广】)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxfΓ为空间曲线“四代一定”(3)sin)(cos)(ryrx)()(:rrL.)()(]sin)(,cos)([),(22drrrrfdsyxfL机动目录上页下页返回结束【例1】【解Ⅰ】.)1,1()0,0(:,2之间的一段弧与点上点其中计算BOxyLdsyL为积分变量取x)10(:2xxyL10222)(1dxxxdsyL)155(121【解Ⅱ】为积分变量取y)10(:yyxL102)(1dyyydsyL1041dyy)155(121机动目录上页下页返回结束【例2】.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL【解Ⅰ】dyyyI222)2(1.0xy42【解Ⅱ】104dsxI10)4(dsxdxxds2)4(1其中【例3】)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI【解】.21222kakadkaka222sincos20I—Γ为螺旋线“四代一定”机动目录上页下页返回结束计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][π2022222)π43(3π222222kaka线【例4】机动目录上页下页返回结束【例5】,22222，直线为圆周其中求曲线积分ayxLdseLyx.的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成及xxy【解】Lyxdse22BAOBOA4020202adtedxedxeaaxax参数方程4][][2020aaxaxaeee4)1(2aaaeeaaadxye22)(1aaadxxaae222机动目录上页下页返回结束四、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用机动目录上页下页返回结束【思考题】对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？iS【思考题解答】iS的符号永远为正，它表示弧段的长度.