递归回溯与剪枝

递归、回溯与剪枝递归与回溯我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者必须遍历所有状况才可以得出正确结果。这时，我们就必须采用搜索算法来解决问题。搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。而对于深度优先搜索来说，我们需要使用到的一个技术就是递归与回溯。“和最小”题目描述设有一个长度为N的数字串，要求使用K个加号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的和能够为最小。有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：1)3+12=152)31+2=33这时，符合题目要求的结果是：3+12=15递归回溯法算法框架[一]procedureSearch(k:integer);Varibeginfori:=1to算符种数Doif满足条件thenbegin保存结果if到目的地then输出解elseSearch(k+1);恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}end;end;递归回溯法算法框架[二]procedureSearch(k:integer);Varibeginif到目的地then输出解elsefori:=1to算符种数Doif满足条件thenbegin保存结果Search(k+1,参数表);恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}end;end;搜索策略题目要求的就是在每个数字之间：或者填加号，或者什么都不填。根据这个要求，我们可以从头开始扫描整个数字串，逐个考察是否要填加号，然后检查下一个数字间的位置，直到最后一个数字。下面是一个例子和它的状态树数字7629需要插入2个加号这是一棵完整的搜索树。结点内表示当前处理的状态，每向后处理一个空位即深入一层。我们可以看到，在最后的所有叶子结点中，有三个黄色的结点是满足条件的。7+6+2+977+6767+6+27+6276+27627+62+97+62976+2+976+297629762+97+6+297和6之间不添加加号7和6之间添加一个加号迷宫问题给出一个迷宫的地图，有一些格子中有障碍，问从起点到终点的最短路径，并输出所有的最短路径。回溯法解题思路1、这个方向有路可走，我没走过，往这个方向前进2、是死胡同,往回走,回到上一个路口3、重复第一步，直到找着出口但是回溯法的缺点暴露无遗：搜索耗时极巨，无法忍受。那么我们可否提前判断我们前进的方向是否可能得到最优解呢？如果可以的话，搜索效率岂不是能够提高了吗答案就是：剪枝！关于剪枝剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不多.。若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍历，那么剪枝顾名思义,就是将树中的一些“死胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪”掉，以减少搜索的时间。搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。然而，不是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。在设计判断剪枝条件的时候，就需要有一定的方法。最优性剪枝又称为上下界剪枝一种重要的搜索剪枝策略记录当前得到的最优值如果当前结点已经无法产生比当前最优解更优的解时，可以提前回溯回到加号题儿子结点的数一定比父亲大即搜索树深度越深得到的解越大满足最优性剪枝的条件我们可以记录当前得到的解的最小值如果当前得到的和值已经超过保存的最小解，即不必再继续深入搜索，回溯。再看搜索树我们可以看到红色结点的子节点不可能有最优解77+6767+6+27+6276+27627+62+97+62976+2+976+297629762+97+6+2+97+6+29最优性剪枝结果结点数大大减少。77+6767+6+27+627+6+2+97+6+29可行性剪枝除最优性剪枝外，另一种重要的搜索剪枝策略判断继续搜索能否得出答案，如果不能直接回溯再看搜索树对于图中蓝色结点。后面能够插入’+’的位置已经少于未用完’+’的数量，肯定不可能有解。对于这种结点，其子节点不可能有解，可以回溯。这个节点的加号不可能有解,可以进行可行性剪枝77+6767+6+27+6276+27627+62+97+62976+2+976+297629762+97+6+2+97+6+29迷宫问题最优性剪枝我们可以将每一次搜索出的路径长度与上界比较（初始上界＝∞），不断降低上界，一旦出现路径长超出上界而仍未到达目标点，则放弃该搜索进程。因为就算继续搜索下去，这一条路径也必然比其他路径长，不是最优解。总结深度优先搜索的程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；所以，如何用正确的方法对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。那么，剪枝就是搜索优化中最基本的方法之一。总结两种常用的剪枝方法：最优性剪枝适用范围：子结点的代价全部高于或低于父结点又之称为多米诺性质。可行性剪枝根据题意作出判断是否继续搜索还有可能得到解剪枝的原则正确性准确性高效性总结在搜索算法中，几乎都需要采用程序优化,以减少时间复杂度。而这里所说的两种剪枝方法，是最常见的优化方法之一。然而，尽管可以采用众多优化算法使得程序的效率有所提高，搜索算法本身的时间复杂度不能从本质上减少是不可改变的事实。不妨在使用搜索算法之前先仔细想想，有没有其他更好的算法。