2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题1 第3讲 函数与方程、函数的应用

第3讲函数与方程、函数的应用第3讲函数与方程、函数的应用主干知识整合第3讲│主干知识整合1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第3讲│主干知识整合第三步：计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．要点热点探究第3讲│要点热点探究►探究点一函数的零点和方程根的分布例1(1)[2011·天津卷]对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－∞，－2]∪－1，32B．(－∞，－2]∪－1，－34C.－1，14∪14，＋∞D.－1，－34∪14，＋∞(2)[2011·山东卷]已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.第3讲│要点热点探究(1)B(2)2【解析】(1)f(x)＝x2－2，x2－2－x－x2≤1，x－x2，x2－2－x－x21＝x2－2，－1≤x≤32，x－x2，x－1，或x32，则f(x)的图象如图．∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，由图象知c≤－2，或－1c－34.第3讲│要点热点探究(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2a3，所以loga21＝logaaloga3，因为3b4，所以b－21loga2，b－31loga3，所以f(2)·f(3)＝(loga2＋2－b)(loga3＋3－b)0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n＝2.【点评】函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法．在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来．第3讲│要点热点探究已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)讨论方程f(x)＝0解的个数，并说明理由．【解答】(1)因为f′(x)＝x－ax(x0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，解得a＝2，b＝－2ln2.(2)当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a0时，f′(x)＝x－ax0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数．第3讲│要点热点探究因为f(1)＝120，fe1a＝12e2a－10，所以方程有唯一解．当a0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝x＋ax－ax，因为当x∈(0，a)时，f′(x)0，f(x)在(0，a)内为减函数；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(a，＋∞)内为增函数．所以当x＝a时，有极小值，即最小值f(a)＝12a－alna＝12a(1－lna)，当a∈(0，e)时，f(a)＝12a(1－lna)0，此方程无解；当a＝e时，f(a)＝12a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝a，当a∈(e，＋∞)时，f(a)＝12a(1－lna)0，因为f(1)＝120且1a，所以方程f(x)＝0在区间(0，a)上有唯一解，第3讲│要点热点探究因为当x1时，(x－lnx)′0，所以x－lnx1，所以xlnx，f(x)＝12x2－alnx12x2－ax.因为2aa1，所以f(2a)12(2a)2－2a2＝0，所以方程f(x)＝0在区间(a，＋∞)上有唯一解．所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两解．综上所述：当a∈[0，e)时，方程无解；当a0或a＝e时，方程有唯一解；当ae时方程有两解．【点评】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值点的值的正负；三是区间端点的值的正负．第3讲│要点热点探究►探究点二二分法求方程的近似解例2用二分法求方程lnx＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是________．【点评】用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解，若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是和这个中点函数值异号的区间．在用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精确度确定近似解，如下面的变式．【分析】只要计算三个点x＝1,1.5,2的函数值，然后根据函数零点的存在定理进行判断即可．[1.5,2]【解析】令f(x)＝lnx－1x，f(1)＝－10，f(2)＝ln2－12＝ln2eln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－23＝13(ln1.53－2)；因为1.53＝3.375，e241.53，故f(1.5)＝13(ln1.53－2)13(lne2－2)＝0，f(1.5)·f(2)0，所以下一个有根区间是[1.5,2]．第3讲│要点热点探究若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5C【解析】由于f(1.40625)＝－0.0540，f(1.4375)＝0.1620，精确到0.1，所以函数的正数零点为x＝1.40625≈1.4，故选C.第3讲│要点热点探究►探究点三函数模型及其应用（含导数解决实际问题）例3[2011·湖南卷]如图3－1，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝32时，(1)写出y的表达式；(2)设0v≤10,0c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．图3－1第3讲│要点热点探究【解答】(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为320|v－c|＋12，故y＝100v320|v－c|＋12＝5v(3|v－c|＋10)．(2)由(1)知，当0v≤c时，y＝5v(3c－3v＋10)＝53c＋10v－15；当cv≤10时，y＝5v(3v－3c＋10)＝310－3cv＋15.故y＝53c＋10v－15，0v≤c，510－3cv＋15，cv≤10.①当0c≤103时，y是关于v的减函数．故当v＝10时，ymin＝20－3c2.②当103c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝50c.第3讲│要点热点探究【点评】本题考查函数建模、分段函数模拟的应用．解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变量表达出来．在函数模型中，含有绝对值的函数本质上是分段函数，解决分段函数问题时，要先解决函数在各个段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质．第3讲│要点热点探究例4[2011·山东卷]某企业拟建造如图3－2所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.图3－2第3讲│要点热点探究【解答】(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝4320r2－r.由于l≥2r，因此0r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×4320r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0r≤2.第3讲│要点热点探究(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2r3－20c－2，0r≤2.由于c3，所以c－20，当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m0，所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0m2即c92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′0；当r∈(m,2]时，y′0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3c≤92时，当r∈(0,2]时，y′0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费用最小时r＝320c－2.规律技巧提炼第3讲│规律技巧提炼1．根据方程的解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法)，但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．第3讲│规律技巧提炼2．二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理，当把方程的一个根锁定在区间(a，b)上时，取区间的中点x＝a＋b2，则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理进行判断的，即在fa＋b2的符号与f(a)，f(b)的值异号的区间内．3．函数模型是一种重要的数学模型，解决函数建模的关键是找到一个影响求解目标的变量，使用这个变量把求解目标需要的量表达出来，这样就建立起了函数模型，然后通过研究