2012年高三二轮专题复习解析几何 第1讲

专题五解析几何第1讲直线与圆【高考真题感悟】(2010·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．解析设圆心坐标为(x0,0)(x00)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝|x0－1|2.由弦长为22可知|x0－1|22＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝0考题分析本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等．试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键．易错提醒(1)不能熟练应用垂径定理，构建方程．(2)易忽视题目限制条件．如圆心在x轴的正半轴上．(3)所求直线斜率是直线l的斜率的负倒数．这也是许多考生易错的知识点．主干知识梳理1．直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围．(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况．(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解．(4)求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想．(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(7)在运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数．2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，圆心为(－D2，－E2)，半径为r＝D2＋E2－4F2；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程．热点分类突破题型一直线的概念、方程及位置关系问题例1已知直线l1：x－2my＋3＝0，直线l2的方向向量为a＝(1,2)，若l1⊥l2，则m的值为______．解析由直线l2的方向向量为a＝(1,2)，知直线l2的斜率k2＝2，∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝12m，由k1·k2＝－1，即12m·2＝－1，得m＝－1.故填－1.探究提高本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、圆或圆锥曲线等知识结合起来命题．虽为基础知识，但最易陷入易混易错的陷阱．－1变式训练1若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.2B.823C.3D.833解析由l1∥l2，知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝6－2312＋(－1)2＝823.故选B.B题型二圆的方程及圆的性质问题例2已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，求圆C的方程．解∵圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b)．设圆C的半径为r.则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得12＋(－b)2＝r2|b|＝12r解之得r2＝43b＝±33.∴圆C的方程为x2＋y±332＝43.探究提高求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(3)本题突破的关键是，将x轴分成两段弧长之比为1∶2，转化为弦所对圆心角为120°.变式训练2在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？并证明你的结论．解(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ0，解得b1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)由x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0，得：x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0.令x2＋y2＋2x－y＝0y－1＝0，得x＝0y＝1或x＝－2y＝1∴圆C必过定点(0,1)和(－2,1)，证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0.所以圆C必过定点(0,1)．同理可证圆C必过定点(－2,1)．题型三直线与圆的综合应用问题例3如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程；(3)BQ→·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．思维启迪第(1)问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．解(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1.由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0.∴BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→.当直线l与x轴垂直时，得P－2，－52.则BP→＝0，－52，又BA→＝(1,2)，∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由y＝k(x＋2)，x＋2y＋7＝0，解得P－4k－71＋2k，－5k1＋2k.∴BP→＝－51＋2k，－5k1＋2k.∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－51＋2k－10k1＋2k＝－5.综上所述，BQ→·BP→是定值，且BQ→·BP→＝－5.探究提高(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2，构成直角三角形关系来处理．(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨．变式训练3已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．(1)解∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，易知斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝|3k|k2＋1＝1，解得k＝±24.∴直线l1的方程为y＝±24(x－3)．(2)证明对于圆方程x2＋y2＝1，令y＝0，得x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2的方程为x＝3.设M(s，t)，则直线PM方程为y＝ts＋1(x＋1)．解方程组x＝3，y＝ts＋1(x＋1)，得P′3，4ts＋1.同理可得Q′3，2ts－1.∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋y－4ts＋1y－2ts－1＝0.又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s－2ty＝0.若圆C经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，∴圆C总经过定点，坐标为(3±22，0)．规律方法总结1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．3．直线与圆相交于A，B两点，则有|AB|＝2r2－d2，其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离．4．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．(3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．5．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.6．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．名师押题我来做1．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，若|OA→＋OB→|≥|AB→|，那么实数m的取值范围是__________．押题依据高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题以向量作为表达形式，新颖别致，实属第二种题型，故押此题．押题级别★★★★★解析如图所示，设点D为线段AB的中点，由|OA→＋OB→|≥|AB→|，则2|OD|≥|AB|,4|OD|2≥|AB|2，即4|m|22≥42－|m|22，化简，得1≤|m|222，求得－2m≤－2或2≤m2.故填(－2，－2]∪[2，2)．答案(－2，－2]∪[2，2)2．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________．押题依据直线与圆的位置关系是解析几何初步的重要内容，体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想，是高考考查的重点．押题级别★★★★★解析曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，表示一个圆，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝|6＋6－2|2＝52.所