高中数学一轮复习课件：正弦定理和余弦定理

考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．热点提示1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题．2．与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点.•1．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即•3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即•4．正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，它们可以解决以下一些三角形问题：•(1)利用正弦定理可以解决：•①已知两角和，求其他和一角；•②已知和其中一边的对角，求另一边的，从而进一步求出其他的边和角．任一边两边两边对角•(2)利用余弦定理可以解决：•①已知三边，求；•②已知，求第三边和其他两个角．•同时，在利用正弦定理解决•“”的问题时，要结合图象并根据“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍．三个角两边和它们的夹角已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边1．已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．45°或135°C．45°D．30°解析：根据正弦定理asinA＝bsinB得：2sinA＝3sin60°⇒sinA＝22，又ab，∴AB，A＝45°，故选C.答案：C2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32，∴sinB＝32，故选D.答案：D3．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB＝________.解析：由正弦定理sinAa＝sinBb，又∵a＝52b，A＝2B，∴sin2B52b＝sinBb，b≠0，sinB≠0，∴2cosB52＝1，∴cosB＝54.•4．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．•解析：如右图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2.•由余弦定理知•AD＝•5．根据下列条件，解△ABC：•(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C、A、a；•(2)已知B＝30°，b＝，c＝2，求A、C、a；•(3)已知b＝6，c＝9，B＝45°，求C、a、A.解：(1)由正弦定理得sinC＝csinBb＝8sin30°4＝1.又∵30°C150°，∴C＝90°.∴A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝c2－b2＝43.(2)由正弦定理得sinC＝csinBb＝2sin30°2＝22.∵cb,30°C150°，∴C＝45°或C＝135°.当C＝45°时，A＝105°，a＝3＋1；当C＝135°时，A＝15°，a＝3－1.(3)∵sinC＝csinBb＝96sin45°＝3241，∴此题无解．•【例1】在△ABC中，•(1)若b＝，c＝1，B＝45°，求a及C的值；•(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.•思路分析：(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．•(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解．解：(1)解法一：由正弦定理得2sin45°＝1sinC，所以sinC＝12.因为cb，所以CB，故C一定是锐角，所以C＝30°，所以A＝105°，所以1sin30°＝asin105°，所以a＝2sin105°＝6＋22.解法二：根据b2＝a2＋c2－2accosB得2＝a2＋1－2a，解得a＝6＋22，解角C方法同上．(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝25＋c2－10ccos60°，解得c＝8.•变式迁移1在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.解：由已知得acb，∴A为最大角．由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝32.解法一：由正弦定理得asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝5×327＝5314，因此最大角A为120°，sinC＝5314.解法二：cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C为三角形的内角，∴C为锐角．sinC＝1－cos2C＝1－(1114)2＝5314.所以最大角为120°，sinC＝5314.•【例2】在△ABC中，若b＝4，c＝3，BC边上的中线AD＝，求A，a，S△ABC.解：如右图，由于AD是BC边上的中线，若设BD＝x，则DC＝x.在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB＝x2＋(372)2－322·x·372.在△ACD中，由余弦定理得：cos∠ADC＝x2＋(372)2－422·x·372.∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＝－cos∠ADC.于是x2＋(372)2－322·x·372＝－x2＋(372)2－422·x·372，解得：x＝132，故a＝2x＝13.又由余弦定理得cosA＝42＋32－(13)22×4×3＝12，∴A＝60°.则S△ABC＝12bcsinA＝12×4×3×32＝33.•变式迁移2如右图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．解：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，sin∠ABC＝AC·sin∠BCAAB＝9sin30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，解得BD＝922.故BD的长为922.•【例3】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形ABC的形状．•解法一：由已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]•＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，•∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.•由正弦定理，得•sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，•∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，•∴sin2A＝sin2B，由0A＋Bπ，•得2A＝2B或2A＝π－2B，•即△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法二：同解法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，故选B.答案：B【例4】(2009·江西卷)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.思路分析：(1)变换tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，寻找A，B，C的三角函数之间的关系；(2)在解决了第(1)问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方程组即可．解：(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即a22＝c32，得a＝22，c＝23.本题把关键条件C＝π3用tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB来表达，考查了三角恒等变换的基础知识和考生的运算求解能力，同时很好地把方程思想融入到解题中去，是一道兼顾知识和能力考查的试题.变式迁移4(2009·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解：(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.•(2)由(1)知，bc＝5.又b＋c＝6，•所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.•由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，•所以a＝2.•1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．•2.在△ABC中，C有解的充要条件是cosA＋cosB0，利用该结论解选择题或填空题，十分方便．••3.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．•4.在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．