松弛因子对SOR法收敛速度的影响

2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响2.1题目用SOR法求解方程组Ax=b,其中3-2-.2-2-3-B,41141......14114A要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取ω=1.1,1.2,...,1.9进行迭代，记录近似解x(k)达到||x(k)-x(k-1)||10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w≤0或w≥2会有什么影响？2.2SOR法原理事实上，迭代法可以看成𝑥𝑖(𝑘+1)=𝑥𝑖(𝑘)+ω𝑟𝑖(𝑘+1)𝑎𝑖𝑖并希望取得合适的ω值以加速收敛。0ω1，低松弛法；ω=1，普通的迭代法；ω1，超松弛法。2.3问题分析本实验即选取不同的ω值，以观察松弛因子对收敛速度的影响。为进行横向对比，也要选取不同的阶数，这里分别选取m=10,100,2000阶。本实验SOR法是基于高斯-赛德尔法的，编写程序SOR.m（附录3）进行迭代运算，迭代初值𝑥𝑖(0)=0,𝑖=1,2,…,𝑚，结果如下：表1、不同ω值的收敛次数A阶数ω值1010020001.11213141.21415151.31718181.42023231.52430301.62940401.74456561.86790901.9136175194图4、不同ω值的收敛次数对比图2.4本题小结从上述分析可以看出：随着松弛因子ω的逐渐增大，收敛速度也越来越慢，且随ω值的增大，收敛次数的增量有增大的趋势。因此松弛因子ω对收敛速度的影响是很明显的。而方程组的未知数个数（即A的阶数）对收敛速度的影响甚微。由Kahan必要条件知0ω2，可知当ω≤0或ω≥2时迭代不收敛。当在程序中输入此类值时结果显示错误。