2018年高考理科数学全国卷3(含答案与解析)

数学试卷第1页（共20页）数学试卷第2页（共20页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10}Axx∣≥,{0,1,2}B,则AB()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.()(1i2i)()A.3iB.3iC.3iD.3i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()ABCD4.若1sin3,则cos2()A.89B.79C.79D.895.252()xx的展开式中4x的系数为()A.10B.20C.40D.806.直线2=0xy分别与x轴,y交于A,B两点,点P在圆22(2)=2xy上,则ABP△面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D[22,32]7.函数422yxx的图象大致为()ABCD8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,2.4DX,()6(4)PXPX＜,则p()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.ABC△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC△的面积为2224abc,则C()A.π2B.π3C.π4D.π6毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共20页）数学试卷第4页（共20页）10.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC△为等边三角形且其面积为93,则三棱锥DABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.54311.设1F,2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点,O是坐标原点.过2F作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若1||6||PFOP,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.212.设0.2log0.3a,2log0.3b,则()A.0abab＜＜B.abab＜＜0C.0abab＜＜D.0abab＜＜第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量2)(1,a,)2(2,b,),(1c.若2()∥cab,则=.14.曲线)e(1xyax在点(0,1)处的切线的斜率为2,则a.15函数π()cos(3)6fxx在[0,π]的零点个数为.16.已知点1()1,M和抛物线C：²4yx,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若90AMB,则k.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题：共60分.17.(12分)等比数列{}na中,11a,534aa.(1)求{}na的通项公式；(2)记nS为{}na的前n项和.若63mS,求m.18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()(ab)(cd)(ac)(bd)nadbcK,2()PKk≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828数学试卷第5页（共20页）数学试卷第6页（共20页）19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C：22143xy交于A,B两点,线段AB的中点为(1,)()Mmm＞0.(1)证明：12k＜-；(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且0FPFAFB.证明：FA,FP,FB成等差数列,并求该数列的公差.21.(12分)已知函数22()()ln(1)2fxaxxxx.(1)若0a,证明：当10x＜＜时,()0fx＜；当0x＞时,()0fx＞；(2)若=0x是()fx的极大值点,求a.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为cos,sinxy(为参数),过点(0,2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)设函数()211fxxx.(1)画出()yfx的图象；(2)当[0),x,()bxfax≤,求ab的最小值.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________数学试卷第7页（共20页）数学试卷第8页（共20页）2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】∵={1}Axx｜≥,{0,1,2}B,∴={1,2}AB,故选C.2.【答案】D【解析】21i2i)(2i2ii3i)(,故选D.3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.4.【答案】B【解析】由1sin3,得22127cos212sin12()=1=399.故选B.5.【答案】C【解析】252()xx的展开式的通项251103155()(2)2rrrrrrrTCxxCx,令1034r,得2r,所以4x的系数为225240C.故选C.6.【答案】A【解析】由圆22(2)=2xy可得圆心坐标(2,0),半径2r,ABP△的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有12SABd.易知22AB,max2220223211d,min222022211d,所以26S≤≤,故选A.7.【答案】D【解析】∵42()2fxxx,∴3()42fxxx,令()0fx＞,解得22x＜或22x0＜＜,此时,()fx递增；令()0fx＜,解得22x＜＜0或22x＞,此时,()fx递减.由此可得()fx的大致图象.故选D.8.【答案】B【解析】由题知~1()0,XBp,则(1012.4)DXpp,解得0.4p或0.6.又∵()6(4)PXPX＜,即446664221010(1)(1)(1)0.5CPpCPpppp＜＜＞,∴0.6p,故选B.9.【答案】C【解析】根据余弦定理得2222cosabcabC,因为2224ABCaSbc△,所以c42osABCabCS△,又1sin2ABCSabC△,所以tan1C,因为π()0,C，所以4C.故选C.10.【答案】B【解析】设ABC△的边长为a,则1sin60=932ABCSaa△,解得6a(负值舍去).ABC△的外接圆半径r满足62sin60r,得23r,球心到平面ABC的距离为224232.所以点D到平面ABC的最大距离为246,所以三棱锥DABC体积的最大值为19361833,故选B.11.【答案】C【解析】点2(,0)Fc到渐近线byxa的距离220(0)1()bcaPFbbba＞,而2OFc,所以在2RtOPF△中,由勾股定理可得22OPcba,所以166PFOPa.在2RtOPF△中,222cosPFbPFOOFc,在12FFP△中,2222222121221246cos22PFFFPFbcaPFOPFFFbc2,所以222222463464bbcabcacbc,则有22223()46caca,解得3ca(负值舍去),即3e.故选C.数学试卷第9页（共20页）数学试卷第10页（共20页）12.【答案】B【解析】解法一：∵0.20.2log0.3log1=0a＞,22log0.3log1=0b＜,∴0ab＜,排除C.∵0.20.20log0.3log0.2=1＜＜,22log0.3log0.5=1＜,即01a＜＜,1b＜-,∴0ab＜,排除D.∵220.2log0.3lg0.2log0.2log0.3lg2ba,∴2223log0.3log0.2log12bba＜,∴1bbababa＜＜,排除A.故选B.解法二：易知01a＜＜,1b＜,∴0ab＜,0ab＜,∵0.30.30.311log0.2log2log0.41ab＜,即1abab＜,∴abab＞,∴0abab＜＜.故选B.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】12【解析】由已知得2(4,2)ab.又,()1c,2()∥cab,所以42=0,解得12.14.【答案】3【解析】设(e))1(xfxax,则()()1exfxaxa,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率(0)12kfa,解得3a.15.【答案】3【解析】令()0fx,得πcos(3)6x,解得ππ+()39kxkZ.当0k时,π9x；当1k时,4π9x；当2k时,7π9x,又[0,π]x,所以满足要求的零点有3个.16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为1yxk,设111,yAyk,221,yByk,将直线方程与抛物线方程联立得21,4,yxkyx整理得2440yyk,从而得124yyk,124yy.∵1()1,M,90AMB,∴0MAMB,即1212(2)(2)(1)(1)0yyyykk,即