鸽巢问题-教学设计-教案

教学准备1.教学目标1.1知识与技能：1.初步了解“抽屉原理”，会运用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。2.通过操作、观察、比较、推理等数学活动，引导学生理解并掌握这一类“抽屉原理”的一般规律。1.2过程与方法：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，体会比较的学习方法。1.3情感态度与价值观：感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣和应用意识，培养学习数学的兴趣。2.教学重点/难点2.1教学重点经历抽屉原理的探究过程，理解抽屉原理，灵活运用抽屉原理解决生活中的简单问题。2.2教学难点理解“总有”、“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并对一些简单的实际问题加以模型化。3.教学用具多媒体课件，铅笔，笔筒，一副扑克牌4.标签教学过程一、开门见山，引入课题师：课前老师表演了一个魔术，其实，这里面蕴含了一个重要的数学原理——抽屉原理（板书：抽屉原理）。看到这个课题，你有什么问题要问吗？学生提出问题：什么是抽屉原理？怎样研究抽屉原理？抽屉原理有什么用？等等。师：同学们都很爱提问题，也很会提问题，这节课我们就带着这些问题来研究。二、自主探究，构建模型1.教学例1，初步感知，体验方法，概括规律。师：我们先从简单的例子入手，请看，如果把4个小球放进3个抽屉里，我可以肯定地说，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。稍加停顿。师：“总有”是什么意思？生：一定有。师：“至少放2个小球”你是怎样理解的？生：最少放2个小球，也可以放3个、4个。师：2个或比2个多，我们就说“至少放2个小球”。师：老师说的这句话对吗？我们得需要验证，怎么验证呢？华罗庚说过不懂就画图，下面请同学们用圆形代替小球，用长方形代替抽屉，画一画，看有几种不同的方法。也可以寻求其他的方法验证，听明白了吗？开始吧！学生活动，教师巡视指导。汇报交流。师：哪位同学愿意把你的方法分享给大家？一生上前汇报。生1：可以在第一个抽屉里放4个小球，其他两个抽屉空着。师：这4个小球一定要放在第一个抽屉里吗？生：不一定，也可以放在其他两个抽屉里。师：看来不管怎么放，总有一个抽屉里放进4个小球。这种放法可以简单的记作4,0,0。不好意思，接着介绍吧。生：第二种方法是第一个抽屉里放3个小球，第二个抽屉里放1个，第三个抽屉空着，也就是3,1,0；第三种方法是2,2,0；第四种方法是2,1,1。（此环节可以先让一名学生汇报，其他学生补充、评价）师：他找到了4种不同的方法，谁来评一评？生2：他找的很全，并且排列的有序。师：除了这4种放法，还有没有不同的放法？（没有）谢谢你的精彩展示，请回。看来，把4个小球放进3个抽屉里，就有这4种不同的方法。同学们真不简单，一下子就找到了4种放法。出示课件，展示4种方法。师：请同学们仔细观察、分析每一种放法，对照老师的猜测，我们凭什么就说“总有一个抽屉里至少放两个小球”呢？生：第一种放法有一个抽屉里放4个，大于2，符合至少2个，第二种放法有一个抽屉里放3个，也大于2，符合至少2个，第三种放法有一个抽屉里放2个，符合至少2个，第四种放法有一个抽屉里放2个，符合至少2个。所以，总有一个抽屉里至少放两个小球。师：说得有理有据。谁愿意再解释解释？（再找一名学生解释）师：原来呀！这两位同学关注的都是每种方法当中放的最——多的抽屉，分别放了几个小球？（4个、3个、2个、2个）最少放了几个？（2个），最少2个，有的超过了2个，我们就说至少2个。确实，不管怎么放，我们都找到了这样的一个抽屉，里面至少放2个小球。看来，老师的猜测对不对？(对)是正确的！师：刚才，同学们在研究的时候，采用了一一列举的方法（板书：列举法），列举法是我们研究问题时常用的方法，它非常的直观。除了像刚才这样，把所有的放法都一一列举出来，还有什么方法也能证明老师的猜测是正确的呢？有没有一种更直接的方法呢？生1：把小球分散地放，每个抽屉里先放1个小球？剩下的1个小球任意放在其中的一个抽屉里，这样总有一个抽屉里至少放了两个小球。生2：先把小球平均放，余下的1个小球不管放在哪个抽屉里，一定会出现总有一个抽屉里至少放了2个小球。师：每个抽屉里先放1个小球，也就是我们以前学过的怎么分？生：平均分。师：为什么要先平均分？生：先平均分，就能使每个抽屉里的小球放得均匀，都比较少，再把余下的1个小球任意放在其中的一个抽屉中，这样一定会出现“总有一个抽屉至少放了2个小球”。课件演示。师：假设每个抽屉先放1个小球，余下的1个小球可以任意放在其中的一个抽屉里，这样就会发现，不管怎么放，总有一个抽屉至少放2个小球。这种方法叫假设法。（板书：假设法）它体现了平均分的思想，你能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？生：4÷3＝1……1,1+1＝2。教师随机板书：4÷3＝1……1,1+1＝2师：这两个“1”表示的意思一样吗？生：不一样，第一个“1”表示每个抽屉里分得的1个小球，第二个“1”表示剩下的那个小球，可以放在任意一个抽屉里。师：第一个“1”就是先分得的1个小球，也就是除法中的商，第二个“1”是剩下的1个小球，可以任意放在其中的一个抽屉中。瞧，用算式来表示多么地简洁明了。师：同学们真聪明，用列举法和假设法，都验证了老师的猜测是正确的。对比这两种方法，假设法出现的这种的情况，其实就是列举法当中第几种放法所出现的情况？生：第四种放法出现的情况。师：你认为用列举法和假设法进行验证，哪种方法比较简便？为什么？生：假设法，列举法需要把所有的情况都一一列举出来，假设法只需要研究一种情况，并且可以用算式简明地表示出来。师：请同学们根据刚才的研究经验和方法，想一想，如果把5个小球放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放几个小球？生：2个，先往每个抽屉里放一个小球，这样还剩下1个，剩下的1个小球任意放在一个其中的一个抽屉里，这样，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。生2：我是用算式表示的，5÷4＝1……1,1+1＝2，总有一个抽屉至少放2个小球。师：把6个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉里至少放几个小球呢？生：6÷5＝1……1,1+1＝2，还是总有一个抽屉里至少放2个小球。师：把7个小球放进6个抽屉里呢？生：总有一个抽屉里至少放2个小球。师：接着往后想，你能继续说吗？生：把7个小球放进6个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。生：把8个小球放进7个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。师：咱们能说完吗？（不能）是不是有什么规律呢？你能概括地说一说吗？生1：小球个数和抽屉个数都依次增加1，总有一个抽屉里至少放的小球个数都是2.生2：当小球的个数比抽屉数多1时，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。师：你们真善于概括总结！2.教学例2，深入研究，提升思维，构建模型。师：刚才我们研究了小球数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少放2个小球，当小球数比抽屉数多2、多3，甚至更多，又会出现什么情况呢？想不想继续研究？（想）师：我们在6个小球放进5个抽屉的基础上继续研究，抽屉数不变，小球的个数增加1，7个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放几个小球？生1：7÷5＝1……2，1+2＝3。师：有不同意见吗？生2：7÷5＝1……2，1+1＝2。师：出现了两种不同的声音，这两位同学都是用7÷5＝1……2，不同点是一位同学认为是1+1＝2，另一位同学认为是1+2＝3。到底哪种想法正确呢？你能谈谈自己的意见吗？生3：我赞同1+1＝2。因为余下的2个还要分到不同的抽屉里，所以总有一个抽屉至少放2个小球。出示课件。师：大家看，把7个小球放进5个抽屉，都同意每个抽屉先放1个是吗？余下的2个怎么放？是一块儿放到一个抽屉里，还是怎么放呀？生：把其中的1个小球放到任意一个抽屉里，再把另1个小球放到和它不同的抽屉里。师：你的意思是说，把这两个小球怎样放？（分开放）为什么要分开放？生：这样能使每个抽屉里的小球都尽可能地少，一定会出现“总有一个抽屉里至少放2个小球”。师：是呀！由于我们找的是“总有一个抽屉里至少放几个小球”，所以应该把这2个小球分别放到不同的抽屉里，应该是什么？（1+1＝2。）看来呀，先把小球平均分，再把余下的小球分开放，这才是解决此类问题的关键。师：感谢刚才三位同学，给我们的课堂带来了不同的声音，使我们的认识越来越深刻，掌声送给他们！师：抽屉数不变，再增加小球的个数，会出现什么情况？生：8÷5＝1……3，1+1＝2，“总有一个抽屉里至少放2个小球”。师：小球数再增加1个。生：9÷5＝1……4，1+1＝2，也是“总有一个抽屉里至少放2个小球”。师：总有一个抽屉里至少放的小球个数怎么还是3呀？生：先往每个抽屉中放1个小球，再把余下的4个小球任意放在4个不同的抽屉里，这样“总有一个抽屉里至少放2个小球”，所以还是1+1＝2。师：小球数再增加1个，（10÷5＝2）还用加1吗？（不用）正好分完。师：再增加1个。生：11÷5＝2……1，2+1＝3，总有一个抽屉里至少放3个小球。师：刚才都是1+1，现在怎么变成2+1了？生：抽屉数不变，小球数增加了，导致商变了，商变了，总有一个抽屉里至少放的小球数也变了。师：请同学们推想一下，小球个数是几的时候，总有一个抽屉里至少放的小球个数还是3？生：13,14,15。如果学生出现不同的数，教师及时纠正。师：同学们太聪明了，这里面是不是有什么规律呢？请同学们认真观察思考，总有一个抽屉里至少放的小球个数，我们是怎么得到的？生：用小球的个数除以抽屉数，如果有余数，用商加1，如果没有余数，总有一个抽屉至少放的小球个数等于商。出示课件：把小球放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。师：其实，抽屉里不仅可以放小球，还可以放其他的物体呢？这句话就变成了：把物体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。我们一起自豪地读一读。师：其实，我们发现的这个规律，就是这节课所要研究的“抽屉原理”。它最早是由19世纪德国数学家狄里克雷提出来的，所以这个原理又叫“狄里克雷原理”。三、运用模型，解释应用1.鸽巢问题，沟通联系。师：刚才我们是借助抽屉和小球来研究的，在有的国家是借助用鸽子和鸽巢问题来研究的。课件出示：5只鸽子飞进3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进几只鸽子？生：总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。师：同学们在解决这个问题的时候，自觉不自觉地就把5只鸽子看成了什么？（5个小球）5个小球也可以叫做5个待分的物体，把3个鸽巢看成了什么？（3个抽屉）。瞧，鸽巢原理诞生了。2.拓展应用，提升方法。师：抽屉原理在生活中有着广泛的应用，这两个问题，你会解决吗？课件出示：（1）把7支铅笔放进2个文具盒里，总有一个文具盒至少放几支铅笔？（2）把11枚硬币放进4个口袋里，总有一个口袋至少放几枚硬币？学生解决后，汇报交流。师：刚才我们用抽屉原理解决了一些问题，这些问题统称为抽屉原理问题，解决该类问题的关键是找出什么是待分的物体，什么是抽屉。抽屉原理就是解决该类问题的一种方法或者叫做模型。3.揭秘魔术，首尾照应。师：还记得课前表演的魔术吗？你能利用抽屉原理揭秘课前的魔术吗？生：把5张牌看作5个待分的物体，把4种花色看作4个抽屉，5÷4＝1……1，1+1＝2，所以，至少有2张牌是同一花色的。师：你真会学习，利用抽屉原理帮助大家把课前的魔术揭秘了，其实，老师并不懂得什么魔术，只是应用了抽屉原理。课堂小结1、回顾小结鸽巢问题就是运用了抽屉原理来解决问题的，是与生活息息相关的一类有趣的数学问题。实际上都是同学们运用以前的知识就可以解决的问题，遇到此类题目时我们可以从多个角度、多个方面去思考。2、畅谈收获师：不知不觉，一节课即将结束，你有哪些收获呢？学生从知识、方法、情感等方面畅谈收获，教师给予积极评价。师：最后，老师给大家提个建议，回家以后，把今天学的抽屉原理讲给爸爸妈妈听！板书鸽巢问题（1）（4,0,0）,(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1)只要放进的小球数比抽屉的数量多1，总有一