简谐运动的合成与分解

二、同方向不同频率两个简谐振动的合成一、同方向同频率两个简谐振动的合成三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成研究方法：采用振动描述的三种方法来分析简谐振动的合成。本讲主要内容：五、谐振分析和频谱四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成2021012021010coscossinsinAAAAtg)cos(1011tAx)cos(2022tAx21xxx)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。x20x0x10x02010P.AotM2A1AA2A1A一、同方向同频率两个简谐振动的合成讨论两个特例(1)两个振动同相,21020k,...2,1,0k)cos(21020212221AAAAA由212122212AAAAAAA)cos(21020212221AAAAA由(2)两个振动反相212122212AAAAAAA,)12(1020k,...2,1,ok如果21AA则A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动xto2TT23T2T合成振动一般情况为其他任意值，则：)(2121AAAAA上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。合成振动t2TT23T2TxoOA例:两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。解：21AAAAAA2132121A2A例:N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次为，2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k时的合振幅为零。A合XOBCA0解：合振幅A2sin2NRA由OPa可看出2sin20RA2sin2sin0NAA分析：当N=2k时的合振幅为零。请大家自行练习！NQRPab/2请记住这个结论！做笔记！当=2k时的合振幅为最大。A------仍为简谐振动x12A1A2若1=2,则不变；若12,则变；------为一复杂运动同方向同频率两个简谐振动的合成二.同方向不同频率两个简谐振动的合成同方向不同频率两个简谐振动的合成tA2cos212t2cos2121xxxtAx11costAx22cos设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为计时起点位移xto2TT23T2T分振动1分振动2合振动122为一复杂振动和频差频振幅周期性变化着重研究21,相近情况——拍现象（Beat)即1-21or2toxx1x2着重研究21,相近情况——拍现象（Beat)即1-21or2xtA2cos212t2cos2121xxx振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子AmplitudemodulationfactorxtA2cos212t2cos21振幅变化缓慢振幅变化缓慢一个拍|2|12一个强弱变化所需的时间toxx1x221xxx合振幅变化的频率即拍频|||2|1212拍手风琴的中音簧：键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。拍现象是一种很重要的物理现象。)cos(1011tAx)cos(2022tAy)(sin)cos(210202102021222212AAxyAyAx消去得到轨道方程t（椭圆方程）10200102021AAyx21AAyxyx质点的轨迹曲线仍为谐振动，但是振动方向改变了！三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成12A22Ayx210201222212AyAx21AA轨迹为圆右旋！提问：若y方向振动落后x方向，则结果如何？画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成2230102012A22A2443454749与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为相互垂直的两个简谐振动。四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。两振动的频率只有很小的差异则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。如果已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法。则合成运动又具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图称为李萨如图。如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比五、谐振分析和频谱在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。（自学）先看一个倍频谐振动的例子。下图，两种虚线代表两份振动，频率之比为3:1，实线代表它们的合振动，图（a),(b),(c)分别表示三种不同的初相位所对应的合振动。三种不同情况，和振动各有不同形式，它们不再是简谐振动，但仍然是周期运动，而且合振动的频率与分振动中的最低频率（基频）相等.如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频率等于倍频。按规律：如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：)7cos715cos513cos31(cos)(ttttAtx既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。10sincos2)(nnntbtnaatx100cos)(nntnAAtxTttttxTa00d)(20各系数可由公式得TttnttntxTa00dcos)(2TttntttxTb00dsin)(2其中：22nnnbaAnnnbaarctan为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。不同乐器奏出的统一音调的音色各不相同，就是由于各种乐器所包含的谐频振动的振幅不同所致。下图表示小提琴和钢琴同奏基频为440Hz(A调）的振动曲线和相应的频谱：近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号处理机等，使用这类仪器可以在很短的时间内完成频谱分析。在阻尼较小时，0，)''cos(00teAxt由牛顿第二定律txkxtxmdddd22令;20mk2m代入上式（称为阻尼因子）txFtdd（称为阻尼系数）对于摩擦阻尼，当不太大时阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）略讲自学阻尼振动的特点：1.振幅特点:振幅A(t)=A0e-t振幅随t衰减(因为振动能量不断损耗)2.周期特点:严格讲，阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因为位移x(t)不是t的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。.'220式中称为阻尼振动振幅。)''cos(00teAxtOtxteA0A0022022'2'TT曲线４,５为过阻尼振动)(0曲线３为临界阻尼)(0在生产实际中根据不同要求控制阻尼大小。图中曲线1,2为阻尼振动)(0设为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间'T34512xt阻尼、临界阻尼和过阻尼：受迫振动驱动力tFFcos0运动方程tFtxkxtxmcosdddd022稳态振动后，方程的解为)cos(0tAx对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅A随频率而改变。0F注意:稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同。令,20mk2m)cos()cos(02200tAteAxt22222004)(mFA频率为外力频率，与振动系统固有频率无关！2202共振0共振共振（2）速度共振（图2）（1）位移共振（图1）vm0A0在一定条件下，振幅出现极大值，振动剧烈的现象。一定条件下，速度幅A极大的现象。即速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）两个同方向频率相近的简谐振动的合成总结：合振幅变化的频率即拍频||12拍两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭圆运动。作业：20-242526