文科数学1.1回归分析的基本思想及其初步应用

1.1回归分析的基本思想及其初步应用必修3(第二章统计)知识结构收集数据(随机抽样)整理、分析数据估计、推断简单随机抽样分层抽样系统抽样用样本估计总体变量间的相关关系用样本的频率分布估计总体分布用样本数字特征估计总体数字特征线性回归分析1、两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况2、最小二乘估计(使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法)最小二乘估计下的线性回归方程：ˆˆˆybxa1221211()()ˆ()niiinniiiiiniixynxxxyybxxyxnxˆˆaybxniixnx11niiyny11回归直线必过样本点的中心),(yx线性回归方程中，的意义是x每增加一个单位，y就平均增加个单位ˆbˆˆˆybxaˆbˆ22.5,yxx设有一个回归方程变量增加一个单位时，则（）Ay平均增加2.5个单位By平均增加2个单位Cy平均减少2.5个单位Dy平均减少2个单位C3、回归分析的基本步骤:画散点图求回归方程预报、决策这种方法称为回归分析.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.回归分析知识结构图问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析散点图应用注：虚线表示高中阶段不涉及的关系2R比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修1-2——统计案例5.引入线性回归模型6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果ybxae选修1-2——统计案例5.引入线性回归模型6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果ybxae例题：某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）如下表：使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0（1）求根据使用年限预报维修费用的回归方程，并预报使用年限为10年时，维修费用的多少；（2）求残差、残差平方和，并进行残差分析；（3）求相关指数R²，并说明回归模型拟合效果的好坏.解：（1）选取使用年限为自变量x，维修费用为因变量y，作散点图,4)65432(51x5)0.75.65.58.32.2(51y3.1120.765.655.548.332.2251iiiyx906543222222512iix23.145905453.112ˆ2b08.0423.15ˆa08.023.1ˆxy所求回归方程为：)(38.1208.01023.1ˆ10万元时，当yx（2）残差表如下-0.340.030.50.27-0.46-2.8-1.20.51.52iiyyˆyyi651.0)46.0(27.05.003.0)34.0()ˆ(22222251iiiyy由残差表中的数据可看出第三和第五个样本点的残差比较大，需确认在采集这两个数据时是否有人为的错误，若有，需纠正数据重新建立回归模型；由表中数据可看出残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适.由以上分析可知，使用年限与维修费用成线性关系.78.1525.15.0)2.1()8.2()(2)3(22222251yyii）知由（9587.078.15651.01)()ˆ(15125122iiiiiyyyyR所以回归模型的拟合效果很好例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。解：选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：1(4857505464614359)54.58y1(165165157170175165155170)165.258x81165481655715750170541756416561155431705972315iiixy82222222221165165157170175165155170218774iix81822180.898ˆ4iiiiixyxbyxxˆˆ85.712aybxˆ0.84917285.71260.316()ykgˆ0.84985.712yx所求线性回归方程为：172xcm当时探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：eabxy其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.函数模型与“回归模型”的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定注：e产生的主要原因：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。思考:产生随机误差项e的原因是什么？在线性回归模型中，e是用预报真实值y的随机误差,它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？bxa残差：一般地，对于样本点它们的随机误差为其估计值为，称为相应于点的残差1122,,(,),...,(,)nnxyxyxy（）,1,2,...iiieybxain,1,2,...iiiiieyyybxainie(,)iixy如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？iiieybxa（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（3）分析残差图（2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地.作用：判断模型的适用性若模型选择得正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382身高与体重残差图异常点几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。•错误数据•模型问题误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是:22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和总偏差平方和$注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力.R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。下面我们用相关指数分析一下例1：预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即µµ222111()()()nnniiiiiiiyyyyyy；解析变量对总效应约贡献了64%，即可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%，故身高对体重的效应比随机误差的效应大得多20.64R结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2.我们建立的回归方程一般都有时间性；3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。归纳建立回归模型的基本步骤（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量;（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）;（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）;（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等）,过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）.ybxa