测试信号分析与处理-第1章(浏览版)

测试信号分析与处理(1)----随机信号的数字特征与线性系统随机激励分析－2－第一部分谱分析和谱估计第1章统计测试技术确定性信号(DeterminateSignal)——信号的规律可以用时间的确定函数来描述。随机信号(RandomSignal)——信号的规律不能用时间的确定函数来描述,但具有一定的统计规律的信号。特点：单个现象看似纷繁复杂，整体服从统计规律(StatisticalPrinciple)。－3－)(4tx)(3tx)(2tx)(1tx1tτ+=12ttTτ样本集合－4－●平稳随机过程(StationaryRandomProcess)随机过程的统计特性不随样本的采样时刻而变化;反之称为非平稳随机过程(Non~)。●各态历经随机过程(遍历过程)(ErgodicProcess)平稳随机过程集合的数字特征(均值,均方值,方差,相关函数,功率谱密度函数等)可以用任何一个样本全部时间历程的数字特征来代替。平稳随机过程和遍历随机过程－5－各态历经(遍历)随机过程的特点●一个样本的时间平均等同于过程整体的集合平均。●遍历过程必然是平稳的，但平稳的未必是遍历的。●遍历过程假设使许多工程问题的研究大为简化。∫∞→TTttxT0d)(1lim1lim()NkkNkxpx→∞=∑－6－概率分布函数])([),(1111xtxptxF≤=随机过程x(t)在t1时刻的取值小于x1的概率。对平稳随机过程：][)(11xxpxF≤=－7－随机过程x(t)在t1时刻落入区间的概率。[]xxxΔ,11+111111011),(])([lim),(xtxFxxxtxxptxpx∂∂=ΔΔ+≤≤=→Δ对平稳随机过程：或xxFxpd)(d)(=∫∞−=xpxFηηd)()(概率密度函数－8－第1章统计测试技术随机信号的描述理论上：概率密度函数工程上：时域：频域：均值,均方值,方差,相关函数,协方差函数功率谱密度函数(自谱、互谱)数字特征－9－§1.1随机过程的数字特征(均值,均方值,方差,相关函数,功率谱密度函数等)一.均值定义:集合平均时刻1t∝∫∞∞−==xtxxptXEtxd),()]([)(111μ均值，数学期望，一阶原点矩－10－对平稳随机过程：统计特性不依赖于采样时刻xixxxtttμμμμΔ====)()()(21L∫∞∞−==xxxpXExd)(][μ一.均值(数学期望,一阶原点矩)∫∞→==TTxttxTXE0d)(1lim][μ对遍历过程：可用一个样本的时间平均来代替整体的集合平均。－11－离散随机序列均值：∫+∞∞−==xnxxpnXEnmxd),()]([)(∫+∞∞−==xxxpXEmxd)(][101[]lim()NxNnmEXxnN−→∞===∑平稳遍历一.均值(数学期望,一阶原点矩)－12－222111()[()](,)dxtEXtxpxtxψ∞−∞==∫∫∞∞−==xxpxXExd)(][222ψ∫∞→==TTxttxTXE0222d)(1lim][ψ定义:平稳遍历二.均方值(二阶原点矩)信号功率－13－∫∞∞−==xnxpxnXEnxd),()]([)(222ψ222[]()dxEXxpxxψ∞−∞==∫122201[]lim()NxNnEXxnNψ−→∞===∑离散随机序列均方值：平稳遍历二.均方值(二阶原点矩)－14－定义:2222[()]xxxxEXΨσμμ=−=−[]∫−=∞→TxTxttxT022d)(1limμσ22111()[[()()]]xxtEXttσμ=−)()()(121212ttΨtxxxμσ−=三.方差(二阶中心矩)平稳遍历－15－2222[()]xxxxEXmΨmσ=−=−[]12201lim()NxxNnxnmNσ−→∞==−∑222()()()xxxnΨnmnσ=−平稳遍历离散随机序列方差：22()[[()()]]xxnEXnmnσ=−三.方差(二阶中心矩)－16－前述的只描述随机信号在各个时刻的统计特性，不反映不同时刻的各数值间的内在联系;相关函数则是描述随机变量不同时刻之间的统计关系。22(),,xxxxmμψσ四.相关函数－17－{})(11txtk，{})(212txttk，τ+=对应于时刻的集合：1t对应于时刻的集合：2t分别构成两个随机变量,它们的乘积的集合平均12112122121212(,)(,)[()()](,;,)ddxxxxRttRtEXtXtxxpxxttxxτ+∞−∞===∫∫1.自相关函数定义：－18－若为实信号，则为实偶函数，[]∫∫∞+∞−=+=2121221dd);,()()()(xxxxpxxtXtXERxxτττ∫+=∞→TTxxttxtxTR0d)()(1lim)(ττ平稳遍历)(τxxR)0()(xxxxRR≤τ1.自相关函数()xt－19－离散随机序列自相关函数:[])()(),(111mnXnXEmnRxx+=[])()()(mnXnXEmRxx+=101()lim()()NxxNnRmxnxnmN−→∞==+∑平稳遍历1.自相关函数－20－{})(11txtk，{})(112ττ++=tyttk，对应于时刻的集合：1t对应于时刻的集合：2t12112212(,)(,)[()()](,;,)ddxyxyRttRtEXtYtxypxyttxyτ+∞−∞===∫∫2.互相关函数分别构成两个随机变量,它们的乘积的集合平均定义：－21－[]∫∫∞+∞−=+=yxyxxyptYtXERxydd);,()()()(2τττ∫+=∞→TTxyttytxTR0d)()(1lim)(ττ平稳遍历2.互相关函数－22－离散随机序列互相关函数:[])()(),(111mnYnXEmnRxy+=[])()()(mnYnXEmRxy+=101()lim()()NxyNnRmxnynmN−→∞==+∑平稳遍历2.互相关函数－23－小结平稳随机过程：严平稳(狭义)、宽平稳(广义)遍历随机过程：随机信号的描述理论上：概率密度函数工程上：数字特征时域：频域：均值,均方值,方差,相关函数,协方差函数功率谱密度函数(自谱、互谱)第1章统计测试技术－24－小结一.均值(一阶原点矩)∫∞∞−==xtxxptXEtxd),()]([)(111μ二.均方值(二阶原点矩)222111()[()](,)dxtEXtxpxtxψ∞−∞==∫三.方差(二阶中心矩)22111()[[()()]]xxtEXttσμ=−)()()(121212ttΨtxxxμσ−=§1.1随机过程的数字特征－25－四.相关函数(不同时刻之间的统计关系)小结1212122121212(,)[()()](,;,)ddxxRttEXtXtxxpxxttxx+∞−∞==∫∫1.自相关函数1212212(,)[()()](,;,)ddxyRttEXtYtxypxyttxy+∞−∞==∫∫2.互相关函数－26－小结[]()dxEXxpxxμ∞−∞==∫222[]()dxEXxpxxψ∞−∞==∫2222[()]xxxxEXΨσμμ=−=−平稳随机过程的数字特征：一.均值：二.均方值：三.方差：四.自相关函数：互相关函数：[]1221212()()()(,;)ddxxREXtXtxxpxxxxτττ+∞−∞=+=∫∫[]2()()()(,;)ddxyREXtYtxypxyxyτττ+∞−∞=+=∫∫－27－遍历随机过程的数字特征：小结一.均值：二.均方值：01lim()dTxTxttTμ→∞=∫2201lim()dTxTxttTψ→∞=∫[]2201lim()dTxxTxttTσμ→∞=−∫三.方差：∫+=∞→TTxxttxtxTR0d)()(1lim)(ττ四.自相关函数：互相关函数：01()lim()()dTxyTRxtyttTττ→∞=+∫－28－§1.1随机过程的数字特征时域频域为获取(挖掘)更多的信息均值、均方值、方差、相关函数时域的数字特征：－29－五.功率谱密度函数(PowerSpectrumFunction)()(j):xtX⇒ΩF1.频谱函数1-Fj(j)()dtXxtet∞−Ω−∞Ω=∫j1()(j)d2txtXeπ∞Ω−∞=ΩΩ∫()(j):xtX⇐Ω(1)(2)－30－可证:表明：信号在时域上的总能量等于在频域上的总能量。----帕塞瓦定理221()d(j)d2xttXπ∞∞−∞−∞=ΩΩ∫∫(3)1.频谱函数－31－●工程中许多确定性信号(如)和随机信号(如噪声信号)，无限长样本，能量无限，不满足FT条件，限制了频谱分析的应用。注:●(1)式成立的条件是要满足荻氏(Dirichlet)条件，且绝对可积，时间信号总能量有限。∞∫∞∞−ttxd)(2)sin(tω1.频谱函数－32－注:●解决办法：窗处理(Windowing)如：矩形窗(自然窗)⎩⎨⎧≤=TtTttw01)(jjj(j)()d()d1()(j)d2TttTTTtTTXxtetxtetxtXeπ∞−Ω−Ω−∞−∞Ω−∞⎧Ω==⎪⎨⎪=ΩΩ⎩∫∫∫有限时窗，FT存在。⎩⎨⎧≤=⇒TtTttxtxT0)()(截取1.频谱函数－33－进一步考察表明，随机信号总能量虽然是无限的，但其平均功率却是有限的。这就启发我们引入功率谱密度函数的概念。21lim()d2TTTPxttT−→∞=∞∫(4)－34－2.自功率谱密度函数221lim()d211lim(j)d22TTTTTTPxttTXTπ−→∞+∞−∞→∞=∞=ΩΩ∫∫(5)表示样本的平均功率,即信号平均功率在各频率上的分布。在全频域上积分，表示总平均功率。21(j)lim(j)2xTTTSXT→∞Ω=Ω令仍然作样本截取，－35－对所有截取试验作统计平均(集合平均)[]221(j)(j)[lim(j)]21lim[(j)]2xxxTTTTTSESEXTEXT→∞→∞Ω=Ω=Ω=Ω定义：不再具有随机性,是确定函数,有明确的物理意义:即随机信号在单位频带内的平均功率,称为自功率谱密度函数。若x(t)代表电流或电压,则表示在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均功率。(j)xxSΩ(j)xxSΩ2.自功率谱密度函数－36－遍历随机过程的自功率谱密度函数：说明:●描述随机变量的平均功率按频率分布的规律；21(j)lim(j)2xxTTSXT→∞Ω=Ω●描述随机变量的平均功率按时差分布的规律；1()lim()()d2TxxTTRxtxttTττ−→∞=+∫●两者在不同的域上反映同类(平均功率)的统计特性，有何内在联系?－37－相关函数与功率谱密度函数的联系？事实可证:(平稳信号)------维纳-辛钦公式(Wiener-Khinchine)()(j)xxxxRSτ⇔ΩF1-Fjj(j)()d1()(j)d2xxxxxxxxSReRSeτττττπ∞−Ω−∞∞Ω−∞⎧Ω=⎪⎨⎪=ΩΩ⎩∫∫(6)(7)(j)xxSΩ为非负实偶函数。－38－同理可得:()(j)xyxyRSτ⇔ΩF1-F●由于是非负实偶函数,故无相角信息；●而一般是复数,含有相角信息。(j)xxSΩ(j)xySΩjj(j)()d1()(j)d2xyxyxyxySReRSeτττττπ∞−Ω−∞∞Ω−∞⎧Ω=⎪⎨⎪=ΩΩ⎩∫∫(8)(9)3.互功率谱密度函数(平稳随机过程)－39－存在：2(j)(j)(j)xyxxyySSSΩ≤Ω⋅Ω(j)()(j)(j)0()1xyxyxxyyxySSSγγΩΩ=ΩΩ≤Ω≤定义：谱相干函数(CoherenceFunction)可用于分析系统的传输因果关系谱相干函数－40－输入输出线性系统(卷积积分)L，F，Z(确定性)(确定性)非线性系统(数值积分)第1章统计测试技术(随机？)(随机？)－41－§1.2线性系统随机激励与响应的关系线性系统：x(t)y(t)h(t)或H(Ω)输入输出X(t)Y(t)激励输入X(t),系统冲激响应h(t),输出响应Y(t):∫+∞∞−−=τττdtXhtY)()()()()()(tXthtY∗=－42－[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∫∞∞−τττμd)()()(tXhEtYEy