2014年初中数学奥赛专题复习-知识梳理+例题精讲-第八讲-一元二次方程根与系数的关系

1一元二次方程根与系数的关系【知识梳理】一元二次方程002acbxax的根与系数的关系（韦达定理）设方程的两个根21xx，，则acxxabxx2121，。韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）2122122212xxxxxx；（2）212122121222121122xxxxxxxxxxxxxx；（3）212212132313xxxxxxxx；（4）212212214xxxxxx；（5）21221221214xxxxxxxx。【例题精讲】【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。（1）x2－2x＋1＝0；（2）x2－9x＋10＝0；解：12xx______，12_______xx解：12xx______，12_______xx（3）2x2－9x＋5＝0；（4）4x2－7x＋1＝0；解：12xx______，12_______xx解：12xx______，12_______xx（5）2x2－5x＝0；（6）x2－1＝0解：12xx______，12_______xx解：12xx______，12_______xx【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_______；（2）x12x2+x1x22=_______；（3）2112xxxx=_______（4）（x1+x2）2=_______；（5）（x1－x2）2=_______；（6）x13+x23=_______．【例3】解答下列问题：2（1）设关于x的一元二次方程01242kxx有两个实数根21xx、，问是否存在2121xxxx的情况？（2）已知：21xx、是关于x的方程01222axax的；两个实数根，且112221xx，求a的值。【巩固】1、已知关于x的方程042axx有两个实数根，且7221xx，则a_____________。2、已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式222的值为_________。【例4】已知关于x的方程：04222mxmx。（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根21xx、满足212xx，求m的值及相应的21xx、。3【巩固】已知关于x的方程013222kxkx。（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根21xx、满足321xx，求k的值。【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程0462xx的两根，则△ABC的面积是多少？【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x二次方程0233222kkxkx的两个实数根，第三边BC的长为5。（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。