基本不等式基础题型总结

基本不等式基础题型总结知识要点两个重要不等式①,Rab，那么222abab（当且仅当ab时取等号“=”）②基本不等式：如果,ab是正数，那么2abab（当且仅当ab时取等号“=”）.算术平均数和几何平均数算术平均数：2ba称为,ab的算术平均数；几何平均数：ab称为,ab的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的应用,(0,)xy，且xyP（定值），那么当xy时，xy有最小值2P；,(0,)xy，且xyS（定值），那么当xy时，xy有最大值2S41.1、直接法总结：此类结构为倒数结构“基本不等式结构”。（1）y＝3x2＋12x22、配凑法凑项与凑系数已知54x，求函数14245yxx的最大值当时，求(82)yxx的最大值凑项因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。凑系数3、变量分离法求2710(1)1xxyxx的值域。还可以怎样做？除法变量分离。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。4、换元法解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。5、整体代换法已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。6、利用函数单调性求函数练习7、平方练习小结（1）利用均值不等式求最值时，必须注意三点：一正，二定，三相等。缺一不可。如果项是复数，可转化为整数后解决，当和或积不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和或积化为定值。（2）形如y=x+a/x(a＞0)这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，乐意借助函数单调性来求解。（3）利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件。，