数学建模优秀论文-食堂就餐模型

2012年兰州理工大学大学生数学建模竞赛论文姓名杨自升（10110431）电话[phone]姓名赵建涛（10530039）电话[phone]院系班级能动院热动基地二班学校食堂就餐问题摘要本文选取2012年兰州理工大学西校区食堂的消费情况作为研究对象，通过我们的随机调查取样和学校食堂及餐厅相关人员提供的相应数据，并结合西校区宿舍、教学区和食堂的规划布局，建立起了衡量就餐服务质量及学生就餐分布规律的数学模型。模型一：建立了就餐服务满意度模型。我们讨论得知影响学生就餐满意指标的因素可能为：餐饮品种和质量、饭菜价格；宿舍、教学楼和食堂的位置关系；食堂容量；周末和非周末；服务态度、食堂清洁卫生，其他等因素。我们通过调查将各个因素在影响人们对食堂满意度的评价上选择的比例高低列入表格，根据比重，我们确立了满意度指标为餐饮品种与质量，饭菜价格，宿舍、教学楼和食堂的位置关系，食堂容量。就这四个因素，我们建立起了简单优化模型,利用综合评分法算出各个食堂的总得分，通过数据拟合发现与实际情况相符。模型二；建立了学生就餐分布规律对食堂经营影响的回归模型。从学生就餐分布规律来解决食堂供求关系，进而较准确的预测不同时间段、不同日期的就餐人数，以减少资源的浪费，提高餐厅的服务质量和广大师生的满意度。通过使用回归分析研究各个时间段学生就餐分布规律，按照剩余标准偏差和拟合优度选定了学生各个时间段所占比重的时间序列回归方程。为以后近似的预测师生在食堂的就餐分布规律，建立模型，定量刻画各食堂特定时间早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日等就餐人数的分布规律，优化食堂经营管理，方便师生就餐。根据这些情况我总结了我们学校餐饮体系的优缺点，优点我们要继承发扬，缺点我们要改进。既然食堂与我们学生的日常生活息息相关，所以食堂的管理必须引起我们的高度重视，所以，为完善我们学校食堂的管理体系，征集许多学生的意见，提出了一些有效的改进办法。如适当增加学校食堂的座位和打饭窗口，使食物的种类更丰富，更营养更健康等等。关键词：优化模型综合评分回归模型方差分析2一、问题的提出我校目前有多个学生食堂，每天供约四万人（学生，教职员工）就餐。就西校区而言，25000左右学生分布在南村和北村两个宿舍区，在两个教学区（包含四座教学楼和两座实验楼）上课，师生就餐主要集中在南村食堂和北村饮食一条街。长期以来，供餐者和就餐者之间存在供需的矛盾问题。这种供求关系的不平衡，食堂管理者和广大用餐者双方都十分关注。问题一：建立合理的就餐服务质量的满意度指标，并按此指标，对学校现有部分食堂应用数学建模做出综合评价。要考虑的因素主要有餐饮品种与质量，饭菜价格，宿舍、教学楼和食堂的位置关系，食堂容量。问题二：在问题一的满意度指标影响下，定量分析各食堂特定时间早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日等就餐学生人数的分布规律或比例，并预测该比例的长期变化趋势，给出相应的误差估计等。二、基本假设1、无外来人员，只有本校师生。2、学生吃完饭就离开，保证食堂的正常流动性。3、南方北方学生米面都吃，没有特别的好恶倾向。4、食堂打饭工作人员打饭的质量是接近学生要求的标准重量的。5、随机调查取样的结果是符合学校师生日常就餐规律的。6、打饭过程中饭无洒落等损失情况。三、模型建立及求解3.1问题一模型的建立3.1.1问题一的分析：在不考虑各因素的综合影响下，确立合理的就餐满意指标,研究不同的指标因素对学校两个食堂的满意度,建立简单优化模型,利用综合评分法算出各个食堂的总得分.得分越高，满意度越高。就是根据调查图表得到各因素对各食堂满意度的影响比重结果，再根据各比重联系实际情况建立合理的评分公式，代入调查数据，进行满意度的评分指标计算，得到问题一要求的结果。3.1.2模型一:就餐服务满意度的简单优化模型1、确定评价的标准及满意度指标在此对相应的满意度指标进行评价，将满意度划分为5个级别，如下表一：3表一：相对重要程度满意程度分值区域A非常满意90—100B比较满意75—90C一般60—75D不太满意50—60E很不满意50以下2、评测体系的建立为了获得较为确切的数据结果，我们对两个食堂的情况作了实际调查，影响就餐满意指标的各因素所占的比重情况如下表二：表二:主要影响因素餐饮品种与质量饭菜价格宿舍、教学楼和食堂的位置食堂容量所占比重ii=1,2,3,435%20%30%15%根据比重大小我们忽略其他不重要的因素和无区别因素,如服务态度,食堂卫生,排队收费的方法等,两个食堂的服务基本无太大区别。最后我们确定影响就餐满意的指标为：餐饮品种与质量，饭菜价格，宿舍、教学楼和食堂的位置关系，食堂容量。针对以上四个指标，我们收集整理了之前经管学院学生对在校师生对于食堂和餐厅服务满意度的问卷调查，得到的结果如下表三所示：表三：食堂平均分影响因素餐饮品种与质量饭菜价格宿舍、教学楼和食堂的位置食堂容量南村食堂78.2572.3292.3588.65北村饮食一条街85.7576.5886.6484.264结合两个表（表二、表三）的调查结果，我们归结为如下关系，并建立简单优化模型，利用综合评分公式法求得各个食堂的满意度得分表四：i1234ia78.2572.3292.3588.65ib85.7576.5886.6484.26i35%20%30%15%利用公式：南村食堂：4112233441iiiAaaaaa北村餐厅：4112233441iiiBbbbbb将已知的数据代入以上模型中计算出两食堂的各项及综合得分如下表五：表五：食堂比例分影响因素餐饮品种与质量35%饭菜价格20%宿舍、教学楼和食堂的位置关系30%食堂容量15%综合得分南村食堂27.38714.46427.70513.29782.853北村饮食一条街30.01215.31625.99212.63983.959比较所建的模型求解出的两食堂各自的综合得分可知:北村饮食一条街的得分略高于南村食堂的得分，但差距很小，并且两者都处在B级（比较满意）。所以，综合以上各方面的因素可知，学校师生对南村食堂和北村饮食一条街的就餐服务质量都还比较满意。3.2问题二模型的建立3.2.1问题二的分析：利用问题1的结论，根据我们学校的实际情况，忽略不必考虑的因素。首先我们必须算出来两个食堂餐厅就餐的师生人数,而由于食堂的门较多，人过往流动性很快，而且也有一定5的不规律性。为了更加深入的探讨餐厅就餐的分布规律对食堂供应的影响，进而对师生的就餐进行预测，以便于食堂做出相应的供应准备，我们建立模型二：餐厅就餐的分布规律的回归模型。3.2.2模型二:餐厅就餐的分布规律的回归模型回归分析是一种数理统计的方法，即对随机干扰下的一组数据，经适当的统计整理，排除其随机干扰，而求得反映其数据变化的因变量与引起其变化的那些自变量之间的统计依赖关系或相关关系的函数表达式，常称为回归函数或回归方程。在实际应用中，回归函数是未知的、待定的。已知的只是一组测试数据，需要在此条件下拟合出实际变化规律的回归函数的具体形式，再经过适当的统计处理而估计出具体函数。所以实际上是利用数理统计的方法对测试数据的变化规律进行数学模型的拟合。测试数据的变化规律往往是复杂的，无法用某种函数来精确的表示。但是，在数学上已证明：闭区间上的任意确定性连续函数总可以用如下的多项式在该区间以所要求的任意精度来逼近。代数多项式回归模型：2012...nnYTTTe其中：(1,2,...)iin为待估计的回归函数系数；e为满足基本假定下的随机误差项。测量若干组数据,(1,2,...)iiTim的值，用一个通常的多次多项式来近似它。如何选择这样的多项式呢。按最小二乘法，有如下公式：1010000...(0,1,...)nnnnkkkkmiiiimiiiiiYTaTaTaTkm由iT，(0,1,2..)iYin计算出系数(0,1,2..)iaim，得到的最小二乘法所确定的表达式。在此我们对兰州理工大学食堂就餐的分布规律进行拟合，以得出相应的回归方程。为此，对每一种进行试算的曲线类型计算出它的剩余标准偏差：211ˆ()1niiiSYyn可决系数：2121ˆ()1()niiiniiiYyRYy其中ˆiy为拟合值，ˆiiYy为拟合离差。S取值越小，曲线拟合的越好，相应的曲线即为所6要选定的形式。除剩余标准偏差S外，拟合优度R也是衡量所配曲线拟合原始数据效果好坏的指标。拟合优度R越接近1时所配曲线拟合效果越好，综合考虑剩余标准偏差S和拟合优度R来选取较为理想的曲线类型。根据通过向数据管理中心、兰州理工大学校园一卡通以及向学校食堂有关人员获取相应数据。分别对早餐、午餐和晚餐就餐的人数随时间序列的关系。针对三段时间的就餐人数数随时间的变化关系分别用Excel进行回归分析，曲线拟合结果如下：1.南村食堂特定时间就餐人数分布情况【图一】早餐消费情况的拟合图如下：（因使用的是黑白打印，故图中各曲线的区分不明显，具体细节请参照电子版）工作日拟合回归方程为：y=-193701x2+122405x-19099R=0.9063S=0.131节假日拟合回归方程为：y=-79406x2+50398x-7898.5R=0.9257S=0.122【图二】午餐消费情况的拟合图如下：7工作日拟合回归方程为：y=-56986x2+57007x-14045R=0.8579S=0.115节假日拟合回归方程为：y=-38839x2+35096x-7719.1R=0.9212S=0.110【图三】晚餐消费情况的拟合图如下：8工作日拟合回归方程为：y=-77469x2+111399x–39848R=0.968S=0.021节假日拟合回归方程为：y=-43611x2+60382x–20715R=0.9643S=0.1512.北村餐厅特定时间就餐人数分布情况【图四】早餐消费情况的拟合图如下：【图五】午餐消费情况的拟合图如下：9【图六】晚餐消费情况的拟合图如下：对比南北村两个食堂相应时间就餐学生人数的分布规律可知：早餐期间南村食堂的人流量远高于北村餐厅的；中餐和晚餐北村餐厅的就餐学生人数明显持续的多于南村食堂，只是学生就餐高峰时间相对南村晚了20分钟左右。回归结果开始偏离实际值,其原因可能是预测结果的偏离，负责窗口饭菜服务的食堂员工有疲劳现象进一步观察输出流量变化的趋势,可以发现输出流量保持增长趋势时,也有较稳定的略微下降趋势,即窗口单位平均服务时间呈增长趋势。从窗口服务时间微小的增长不难得出食堂员工动作减慢的结论。在现实中,由于学生食堂的流量大,食堂员工往往要连续站着工作约1h,食堂员工疲劳是容易发生的，最终导致服务质量降低，就餐者减少。四、结果分析与检验由模型二可以看出，食堂就餐的动态过程呈现阶段性，调查数据是从6:45开始的，以该时刻为记录的时间起点，由上面的图可以发现南村食堂的早餐就餐人数近似的成正态分布，在7:15左右（北村7:25）达到最高峰，以后逐渐成降低趋势。中餐从11:30开始，以该时刻为记录的时间起点，由上面的图可以发现食堂的午餐就餐人数近似的成正态分布，在12:15左右达到最高峰，，以后逐渐成降低趋势。晚餐从17:30为该时刻为记录的开始，由上面的图仍可以发现食堂的午餐就餐人数近似的成正态分布，在18:10（北村18:30）左右达到最高峰，以后逐渐成降低趋势。这些都与学校的实际情况相符合。结合我们在日常生活中所了解的实际情况和同学们的综合反映和评价，可以知道大家对北村饮食一条街的就餐服务质量的满意程度略高于南村餐厅，这与模型一的分析结果基本符合。此两个模型在一定程度上反映了食堂就餐规律、食堂服务质量、食堂经营状况间的关系，有助于预测各个时段食堂的就餐分布规律，基本符合题意。10五、模型评价在模型一中，依据问题1的模型求解结果，我们知道我们学校的食堂各有各的特色，同时也存在各自的问题。由于因素多而且复杂我们采用综合评分法，只有每个食堂在满意度指标餐