高中数学初高中衔接读本专题2.1一元二次方程根的判别式高效演练学案

第1讲一元二次方程根的判别式现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根的判别式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：221244,22bbacbbacxxaa(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa(3)当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac【高效演练】1.关于x的方程2x2kxk10的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。【答案】B2.若关于x的方程2310xkx有实数根，则k的取值范围为（）A.k≥0B.k＞0C.k≥49D.k＞49【解析】由题意得2(3)41(1)0k，得49409kk，又0kk，综上则选A【答案】A3.下列四个结论中，正确的是（）A．方程1x+=2x有两个不相等的实数根B．方程1x+=1x有两个不相等的实数根C．方程1x+=2x有两个不相等的实数根D．方程1x+=ax（其中a为常数，且a2）有两个不相等的实数根4.关于x的一元二次方程2310kxx有实数根，则k的取值范围是（）A.94kB.94k且0kC.94kD.94k且0k【解析】∵关于x的一元二次方程2310kxx有实数根，∴20{3410kk，解得94k，且0k.故选B.【答案】B5.若反比例函数kyx与一次函数yx2的图像没有．．交点，则k的值可以是（）A.-2B.-1C.1D.2【解析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：∵反比例函数kyx与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴k yxyx2①②无解，即k=x2x无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。【答案】A。6.如图，直线y=x+2与双曲线y=m3x在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为【】(D)(C)(B)(A)-2-1432-2-1432-2-1432-2-143201101010【解析】因为直线y=x+2与双曲线y=m3x在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：由x+2=m3x得x2+2x+3﹣m=0，∵y=x+2与y=m3x有两个交点，∴方程x2+2x+3﹣m=0有两不相等的实数根。即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。∴m的取值范围为：2＜m＜3。故在数轴上表示为B。故选B。【答案】B。7．已知关于x的一元二次方程2222110kxkx有两个不相等的实根，则k的取之范围为（）A.423kk且B.423kk且C.324kk且D.324kk且【解析】根据题意得k−2≠0且△＝（2k＋1）²−4（k−2）²＞0，解得：k＞34且k≠2．故选C．【答案】C8.若关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是()A.k＞5B.k＜5且k≠1C.k≤5且k≠1D.k≤5【解析】关于x的方程21410kxx有实数根,当10k时，方程是一元一次方程，有实数根.当10k时，方程是一元二次方程，24410,k解得：5k且1.k综上所述，5k.故选D.【答案】D9.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是()A.－2或3B.3C.－2D.－3或2【答案】C10.方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是________。【解析】∵方程210axx有两个不等的实数根，∴20{140aa，解得14a且0a.【答案】a＜14且a≠011.有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程2x2a1xaa30有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数22yxa1xa2的图象不经过点（1，0）的概率是。【解析】∵2x2a1xaa30有两个不相等的实数根，∴△＞0。∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。将（1，0）代入22yxa1xa2；得：a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。可见，符合要求的点为0，2，3。∴P（符合要求）=37。【答案】37。12.二次函数2yaxbx的图象如图，若一元二次方程2axbxm0有实数根，则m的最大值为【答案】313.已知关于x的方程2223410.xkxkk（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足2212127xxxx,求实数k的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2-4k-1）≥0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2（k-3），x1•x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1•x2=k2-4k-1可计算出m的值．解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有实数根，∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0，解得：k≤5；（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=2（k-3），x1•x2=k2-4k-1．∵x12+x22=x1x2+7，∴(x1+x2)2-3x1x2-7=0，∴k2-12k+32=0，解得：k1=4，k2=8．又∵k≤5，∴k=4．【答案】（1）k≤5；（2）4.14.已知a，b，c为一个三角形的三条边长，且方程221210bxaxcx有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状。【解析】分析：把方程221210bxaxcx化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0，由由b、c的实际意义可知b+c＞0，即原方程是关于x的一元二次方程；由方程有两个相等的实数根可得“△=0”，列出关系式化简，由勾股定理逆定理可判断该三角形为直角三角形.解析：方程221210bxaxcx化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0，由b、c的实际意义可知：b+c＞0∴原方程是关于x的一元二次方程，∵原方程有两个相等的实数根,∴△=(−2a)²−4(b+c)(c−b)=0整理,得：4a²+4b²−4c²=0，即a²+b²−c²=0，移项,得：a2+b2=c2∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：这个三角形是直角三角形.【答案】直角三角形