圆锥曲线经典题型总结(含答案)

。-可编辑修改-圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d.圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）,焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。（3）抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0)xpyp。注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。3．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y＝±bax的双曲线方程也可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．解决直线与圆锥曲线问题的通法(1)设方程及点的坐标．(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程．(3)应用韦达定理及判别式．(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．5．若直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线P1P2的斜率为k，则弦长|P1P2|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．|x1－x2|，|y1－y2|。-可编辑修改-的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2.6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题(1)通法．联立方程利用根与系数的关系(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．点差法的步骤：①将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程．②作差消去常数项后分解因式得到关于x1＋x2，x1－x2，y1＋y2，y1－y2的关系式．③应用斜率公式及中点坐标公式求解．特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！6．求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x1，y1的方程，再根据x1，y1与x，y的关系求出P(x，y)的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；(5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.7.常见类型转化：①“以弦AB为直径的圆过点0”OAOB121KK（提醒：需讨论K是否存在）0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“钝角、直角、锐角问题”“向量的数量积小于、等于、大于0问题”1212xxyy0；1212xxyy=0;1212xxyy0③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK）；例如：EF平分AEB0AEBEKK一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用例1.(1)如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（）。-可编辑修改-A.x225+y216=1B.x225－y216=1C.(x+3)225+y216=1D.(x+3)225-y216=1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为x225+y216=1.所以选A(2)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝()A．9B．6C．4D．3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由已知得x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0，而|FA|＝x1－(－1)＝x1＋1，|FB|＝x2－(－1)＝x2＋1，|FC|＝x3－(－1)＝x3＋1，∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝(x1＋x2＋x3)＋3＝3＋3＝6.例2.(1)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围为()A．(1,2)B．(1,2]C．(1，5)D．(1，5](2)函数y＝3－34x2的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．（3）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）（A）2（B）3（C）312（D）512（4）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）w_w_w.k*s5*u.co*m（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12222222251(0,0)-,0)(0)91,(),2xyaabFccxyabEFEOEOFOP（）过双曲线的左焦点（作圆的切线，切点为直线交双曲线右支于点P，若则双曲线的离心率为（）。-可编辑修改-A.172B.173C.102D.53(6)一只双曲线2212221(0,0),.xyabFFab的左右焦点分别为O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，12PFF的内切圆的圆心为I,且圆I与x轴相切与点A,过2F作直线PI的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率e=3,则()A.3OBOAB.3OAOBC.OAOBD.OAOB与关系不确定[解析](1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x，应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1e≤2，选B.(2)函数y＝3－34x2可变为x24＋y23＝1(y≥0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为3，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为33.（3）【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，即e2-e-1=0,所以152e或152e（舍去）（4）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等w_ww.k#s5_u.co*m而|FA|＝22abcccw_w_w.k*s5*u.co*m|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2（5）答案：B(6)答案：C解析：依题意设内切圆与1212PF,PF,FF的切点分别为M,N,A.122,PFPFa且1122,,,PMPNFMFAFNFA12122PFPFFAFAa。设A的横坐标为x，可得c+x-(c-x)=2a,即x=a,所以OAa；延长21,FBPFQ交于则B为2FQ中点，O为12FF的中点，又因为1212,PFPFFQa,OBaOAOB三、直线与圆锥曲线的位置关系例3.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22。-可编辑修改-变式题过抛物线y2＝2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB为()A．锐角三角形B．直角三角形C．不确定D．钝角三角形例3[答案]C[解析]如图，设A(x0，y0)(y00)．易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1，故由抛物线的定义得|AF|＝x0－(－1)＝3，解得x0＝2，所以y0＝－22，故点A(2，－22)．则直线AB的斜率为k＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y＝－22x＋22，联立y＝－22x＋22，y2＝4x，消去y得2x2－5x＋2＝0，由x1x2＝1，得A，B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为12.再由抛物线的定义得||BF＝12－()－1＝32，||AB＝||AF＋||BF＝3＋32＝92.又因为点O到直线AB的距离为d＝223，所以S△AOB＝12×92×223＝322.变式题[答案]D[解析]设点A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则OA→·OB→＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－34p20，所以∠AOB为钝角，故△OAB一定为钝角三角形．五、圆锥曲线背景下的定点问题[例5](2012年·福建卷)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．[解析](1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8.又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝12，即ca＝12，所以c＝1，所以b＝a2－c2＝3.故椭圆E的方程是x24＋y23＝1.。-可编辑修改-(2)由y＝kx＋m，x24＋y23＝1，消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆