附录2-教学案例与评价案例——2017年版《普通高中课程标准》数学(word文档)

1附录2教学案例与评价案例本附录提供了一些案例，是为了帮助教师更好地理解课程标准的要求，特别是理解数学核心素养与内容、教学、评价、考试命题的关系，为教学、评价、考试命题。案例按照标准中出现的顺序排列，有些案例是说明内容、教学、评价、考试命题中的一个问题，有些案例是说明两个或两个以上问题；有些案例体现某个数学核心素养，有些案例综合体现了几个数学学科核心素养，案例中素养表述的顺序反映了所体现素养的主次。有些案例针对在教学过程中容易出现的一些问题，是为了帮助教师答疑解惑。每一个案例前有简短说明，说明本案例针对的问题及其蕴含的数学核心素养，以及如何使用该案例。案例1借助一元二次函数，求解一元二次不等式【目的】学习用函数统一理解初中学过的函数、方程与不等式的联系，逐渐学会利用函数解决相关的数学问题，体会数学内容之间的联系，提升直观想象与数学运算素养。【情境】基于不等式2(00)axbxca，给出相应函数图象，分析求解的程序。【分析】以下在实数范围内进行讨论。当一个问题有不同的解决方法时，需要对这些方法进行分析、比较，选择能够体现数学本质的、试用范围更广的方法。求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，先对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，通过求解一元一次不等式组，得到一元二次不等式的解集；另一种是函数方法，借助一元二次函数图象的直观，得到求解一元二次不等式的通性通法。后者是一种程序思想方法，具体分析如下，对于一元二次不等式20axbxc，根据系数的不同，一元二次函数2yaxbxc的图象与x轴的位置关系可以分为六类，如图1所示。用函数方法求解的程序为：通过系数a的符号，判定函数图象开口方向，通过一元二次方程20axbxc根的判别式24bac，判定函数图象与x轴的位置关系；通过计算方程的根得到不等式的解集。图1六类一元二次函数图象2上述两种方法的共性是都与一元二次方程的根有关，差异是函数方法考虑了函数的变化规律。因此，函数方法时具有一般性的，特别是，类比上述函数方法的思维过程，还可以讨论其他类型函数的相关求解问题。案例2函数的概念【目的】理解基于对应关系的函数概念，感悟函数概念进一步抽象的必要性。【情境】在高中函数概念的教学中，为什么要强调函数是实数集合之间的对应关系？【分析】初中学习的函数概念表述为：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数。它强调的是用函数描述一个变化过程。例如，在匀速直线运动中（速度为v），路程s随着时间t的变化而变化，因此路程是时间的函数，记为svt。再如，在单价n、数量p、总价S的关系中，总价S随着数量p的变化而变化，因此总价是数量的函数，记为Spn，通常把这样的表述称为函数的“变量说”。但是，上述两个函数自变量的单位不同，不能进行加、减等运算。若舍去其具体背景进一步抽象，可以得到一般的正比例函数(ykxk为非零常数)。于是，两个正比例函数就可以进行运算了，所得结果还是一般的函数。到了高中，函数的概念表述为：给定两个非空实数集合A和B，以及对应关系f，若对于集合A中的每一个实数x，集合B中有唯一实数()yfx与x对应，则称()yfx为集合A上的函数，这个概念更强调实数集与实数集间的对应关系，通常把这样的表述成为函数的“对应关系说”。这样，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，函数研究的内涵和应用的范围得以扩展。对应关系强调的是对应的结果，而不是对应的过程。例如，借助高中函数的表达式，可以认定函数22cossinyxx，(,)x与函数1y，(,)x表示同一个函数。更一般地，可以判断两个函数是否相同：如果两个函数的定义域相同，且相同的变量值对应的函数值也相同，那么，这两个函数就是同一个函数。直观地说，如果两个函数的图象重合，这两个函数是同一个函数，此外，函数2ut，(,)t，2xy，(,)y，2yx，(,)x，使用的字母不同，但它们表示的是同一个函数，因为它们的定义域和对应关系分别对应相同；反之，函数2yx，(,)x，2yx，(0,)x，的对应关系相同，但它们是不同的函数，因为它们的定义域不同。因此，函数的表达与字母3的使用无关。使用对应关系刻画函教还有更为深刻的含义，这是因为有些函数很难用解析式表示。侧如，狄利克雷函数10，是有理数，，是无理数。xyx因此，对函数概念的进一步抽象是必要的。注：1851年，德国数学家黎曼（BernhardRiemanm，1826-1866）给出函数定义[1]，假定x是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为x的函数。人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法。法国布尔巴基学派（NicolasBourbaki）的宗旨是在集合论的基础上，用形式化的方法重新构建数学最基本的概念和法则。1939年，布尔巴基学派给出函数的定义[2]。（[1]DieterRuthing．函数概念的一些定义——从Joh．Bernoulli到N．Bourbaki[J]．数学译林，1986，3，261[2]DieterRuthing．函数概念的一些定义——从Joh．Bernoulli到N．Bourbaki[J]．数学译林，1986，3，263）设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的变元x和变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于第一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系。称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系。称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。人们通常称这样的定义为“关系说”，由此可以看到，高中函数定义的表述是黎曼对应说与布尔巴基学派关系说的融合，采纳了“对应”和“关系”的表述方式。后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化。设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得（x，y）∈F。这样，函数的定义九完全用数学的符号形式化了，在这个定义中，已经很难找到变量、甚至对应的影子了，进而完全摆脱了函数的物理背景。虽然这种完全形式化的定义更为一般化，却是以丧失数学直观为代价的，因此不适于基础教育阶段的数学教育。案例3引入弧度制的必要性4【目的】理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这祥的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位；进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性。【情境】对于三角函数的教学，为什么初中数学通过直角三角形讲述，而高中数学要通过单位圆讲述？这是必要的吗？【分析】基于对应关系的函数定义，要求函数是实数与实数的对应关系，称前者的取值范围为定义域，后者的取值范围为值域。初中三角函数是对直角三角形中的边角关系的刻画，其中自变量的取值是60进位制的角度、不是10进位制的实数，不符合对应关系的函数定义。事实上，初中学习三角函数是为了解直角三角形，并不讨论三角函数的基本性质。在高中阶段，借助单位圈建立角度与对应弧长的关系，用对应弧长刻画角的大小；因为长度单位与实数单位一致，这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数，符合对应关系的函数定义。用角度作为自变量表示三角函数，还存在着一个突出的问题，就是自变量的值与函数值不能进行运算（例如，60°与sin60°不能相加，阻碍了三角函数通过运算法则形成其他初等函数。此外，微积分中重要极限0sinlim1xxx成立，也依赖自变量x为实数。特别是，利用三角函效能够较好地描述钟摆、潮汐等周期现象，这时的自变量不一定是角度，可以是时间或其他的量。通过这样的教学，可以让学生感悟数学抽象的层次性。案例4用三角面数刻面事物同期变化的实例【目的】通过三角函数刻画周期变化现象的实例，体会三角函数在表达和解决实际问题中的作用。【情境】用正弦函数刻画三种周期变化的现象：简谐振动（单摆、弹簧等），声波（音叉发出的纯音），交变电流。【分析】单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin（ωx+φ），其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅，2ωx表示频率，φ表示初相位。图2是单摆的示意图。点O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，则当摆球到达点C时，据球的位移y达到最大值A，当摆球到达点O时，摆球的位移y为0；当摆球到达点D时，摆球的位移y达到反向最大值-A；当摆球再次到达点O时，摆球的位移y又一次为0；当摆球再次到达点C时，摆球的位移y又一次达到最大值A。这样周而复始，形成周期变化。5音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin（ωx），其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，2ωx表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）。交变电流可以用三角函数表达为y=Asin（ωx+φ），其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，2ωx表示频率，φ表示初相位。图3是交变电流产生的示意图。线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流（电刷及回路等部分省略），当线圈处于图3所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线图继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值-A，当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线国中的感应电流y又一次为0；当线围继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A。这样周而复始，形成周期变化。对于这样的案例，可以借助计算机软件做出动画，形象化地说明周期变化。案例5函致单调性概念的抽急过程【目的】结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号形式化表达数学定义的必要性，知道这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用。【情境】在初中阶段，学生已经初步了解一元一次函数、反比例函数、一元二次函数的图象具有单调性的特征。在高中阶段引入函数单调性概念时，可以从直观认识出发，提出合适的课堂讨论问题，使学生经历函数单调性概念的抽象过程。例如，可以提出如下问题。问题1在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图象（如图4)，分别述说x在哪个范围变化时，y随着x的增大而增大或者减小？6图4一元一次方程、反比例函数、一元二次方程示意图问题2在日常生活中，哪些函数关系具有上述特征？问题3如图5，f（-2）f（2）f（8），能否据此得出“f（x）在[-2，8]递增”的结论？为什么？问题4依据函数单调性的定义，证明函数1yxx，x∈（2，+∞）是递增的。【分析】初中阶段，学生是经过从直观图形语言到数学自然语言的过程来认识函数的单调性的。到了高中阶段，需要在此基础上进一步用符号语言来表述函数的单调性。在使用符号语言的过程中，“任意”两字是学生遇到的一个难点，需要注意。另外，函数单调性证明过程中的运算也是一个难点。在函数单调性概念的形成中，经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言表达的过程，发展学生的数学抽象素养。在把握函数单调性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养。在函数单调性证明的过程中，发展学生的数学运算素养。学科=网案例6利用单位圆的对称性探索三角函数的诱导公式【目的】借助单位圆对称性的几何直观，探索三角函数的诱导公式，提升直观想象和逻辑推理素养。【情境】通过单位圆定义正弦、余弦函数，结合正弦、余弦函数的概念绘制正弦、余弦函数的图象。探索正弦、余弦函数的对称性，得到三角函数的诱导公式。教学片段探索正弦、余弦函