最优控制课程设计报告

最优控制课程设计报告学院自动化学院学号姓名时间2018-11-17一.线性二次型程序设计1.系统模型给定系统如下：0100[]001[]00231xxu100yx性能指标为：0()dtTTJxQxuRu式中：1112223330000,R=1,00qxyQqxxyqxy假定系统控制信号由下式给出：1122331112233()()()ukrxkxkxkrkxkxkx其结构图如下图所示：2.程序设计为了得到快速响应，1122,33,qqq和R相比必须充分大，选择：112233100,1qqq为了比较不同的R值下的系统响应曲线的区别，R取三个不同的值，分别为：1230.01R0.1R1R仿真时间设置为5s，在程序中分别绘制三种R取值下的输出响应曲线、状态响应曲线以及控制量曲线。编写程序如下：clearall;A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1];C=[100];Q=[10000;010;001];R=0.01;[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R);k1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=0;SYS=ss(AA,BB,CC,DD);[Y,T,X]=step(SYS,5);t=length(T);fori=1:tU0(i)=k1-K*X(i,:)';endR=0.1;[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R);k1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=0;SYS=ss(AA,BB,CC,DD);[Y1,T1,X1]=step(SYS,5);t=length(T1);fori=1:tU1(i)=k1-K*X1(i,:)';endR=1;[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R);k1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=0;SYS=ss(AA,BB,CC,DD);[Y2,T2,X2]=step(SYS,5);t=length(T2);fori=1:tU2(i)=k1-K*X2(i,:)';endfigure(1);plot(T,Y);gridon;title('LQR系统单位阶跃响应');xlabel('Time/s');ylabel('outputy=x1');holdon;plot(T1,Y1);plot(T2,Y2);text(0.6,1.0,'R=0.01');text(2.0,1.1,'R=0.1');text(3.0,1.08,'R=1');figure(2);subplot(3,1,1);plot(T,X);axis([05-26]);gridon;title('状态变量响应曲线R=0.01');xlabel('Time/s');ylabel('x1,x2,x3');text(1.6,1.3,'x1');text(0.7,1.3,'x2');text(0.35,3.2,'x3');subplot(3,1,2);plot(T1,X1);axis([05-26]);gridon;title('状态变量响应曲线R=0.1');xlabel('Time/s');ylabel('x1,x2,x3');text(1.6,1.4,'x1');text(0.75,1.5,'x2');text(0.4,2.2,'x3');subplot(3,1,3);plot(T2,X2);axis([05-26]);gridon;title('状态变量响应曲线R=1');xlabel('Time/s');ylabel('x1,x2,x3');text(1.6,1.3,'x1');text(0.9,1.1,'x2');text(0.25,1.8,'x3');figure(3);plot(T,U0);gridon;title('控制量响应曲线');xlabel('Time/s');ylabel('控制量u');holdon;plot(T1,U1);plot(T2,U2);text(0.15,40,'R=0.01');text(0.25,11,'R=0.1');text(0.75,4,'R=1');3.结果分析3.1输出响应曲线3.2控制量曲线3.3状态响应曲线3.4结果分析当R取值更小时，意味着更不在意能量的消耗，从控制量的变化曲线可以看出，R=0.01时，控制量U的变化范围最大，极值也是最大；R=1时，控制量U的变化范围最小。因此，在输出响应曲线中，R=0.01的情况下，单位阶跃响应的调节时间最短，系统能最快达到稳定；R=1时，单位阶跃响应的调节时间最长。同理可以看出，R越小，相应状态量的变化范围越大。二.基于状态反馈精确线性化Buck变换器的最优控制1.BUCK变换器及其数学模型Buck电路，又称降压电路，其基本特征是DC-DC转换电路，输出电压低于输入电压。如上图所示，图a是BUCK电路的工作原理图，图b是开关管S闭合时的等效原理图，此时电源对电感进行充电，图c是开关管S断开时的等效电路图，电流通过二极管进行续流，电感工作在放电模式。无论充电还是放电模式,输出滤波电容维持输出电压稳定。该系统中，状态变量可根据变换器中储能元件的个数确定，在Buck变换器中取电感电流和电容电压为系统的状态变量。采用PWM控制开关管的通断，由上述分析可得变换器统一状态方程为：式中d为PWM波形的占空比。选取状态变量x=[x1,x2]=[iL,uC]，输入变量u=d，输出变量y=h(x)=x2−Uref，可得适合于微分几何方法的CCMBuck变换器的单输入单输出的仿射非线性控制系统：式中：根据微分几何理论，对于上式给定的系统求得以下李导数：可知，该系统的系统维数为二维。定义如下非线性坐标变换：状态空间表达式在新坐标系下表示为：在此坐标系下原状态空间表达式所示系统的状态反馈律为：式中v是经坐标变换后的线性系统的新输入。2.二次型最优控制及基于无源性理论性能指标矩阵Q和R的选择经非线性坐标变换和状态反馈律，仿射非线性系统转换为线性系统，由此，非线性系统综合问题就转化为线性系统的综合问题。根据二次型最优控制理论，线性定常系统为：二次型性能指标为：式中：Q为正定或半正定对称矩阵；R为正定对称矩阵。性能指标式的第1项体现控制过程中和终端时刻的状态误差接近于0，第2项是对控制幅度的限制。要使性能指标函数为最小，则最优控制为：反馈增益矩阵：式中P是黎卡提代数方程：的正定对称解。无源性控制方法的基本思想是在控制器的设计中，通过注入需要的阻尼项，适当配置系统能量耗散方程中的“无功力”迫使系统总能量跟踪预期的能量函数，使闭环控制系统是无源的。从而保证系统的输出误差渐进稳定于零点，使系统的状态变量渐进收敛到期望值。控制系统的无源性包含闭环系统稳定性，是稳定性概念的扩展。稳定性只是无源性的一种特殊情况，Lyapunov稳定性理论是在无源性概念的基础上发展起来的。基于无源性理论构造闭环系统储能函数H，可通过使闭环系统所期望的储能函数无源来达到控制目标。本文基于无源性理论构造闭环系统能量函数：由此可得：写成矩阵形式为：故对应的Q为：并且选取权矩阵：将矩阵A、B和上面两式代入黎卡提代数方程即可解得矩阵P和反馈增益矩阵K。由求得的反馈增益矩阵K即可得到原非线性系统的反馈控制律u：3.系统仿真3.1系统参数利用Matlab/Simulink对系统进行仿真，采用PI调节器控制方法进行对比分析。系统参数如下：输入电压Uin=100V，输出电压Uref=60V，负载RL=10Ω，开关频率fs=100kHz，输入电感L=2mH，输出电容C=10μF。将上述系统参数代入公式中，并利用Matlab指令K=lqr(A,B,Q,R)，求得反馈增益矩阵K=[k1k2]=[1.3693×10123445]。控制律u的具体表达式为：ref(27.386*3.697*226.89*)/CLinuUuiU3.2系统模型上图所示为系统仿真模型，系统中需要一个电压传感器和一个电流传感器来采集信息然后反馈到控制器中进行控制，控制器具体可以是PI调节器也可以是LQR二次型控制器。上图所示是PI调节器的具体结构图，其中的比例放大系数Kp=2，积分系数Ki=20。上图所示为LQR控制器的具体结构图，相关参数在上文已有说明。3.3结果分析仿真时间设置为5ms，运行系统，分别得到PI调节器和LQR控制器控制下的系统阶跃响应曲线。比较上面的两幅图，PI调节器控制下的系统响应的调节时间为1ms，且系统有较大的超调；LQR控制器控制下的系统响应的调节时间为0.5ms，能够十分平稳地达到期望值，没有超调量。由此可以得出结论，LQR控制器下的系统性能远远优于PI调节器。