研究生矩阵论复习提纲(全)

1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite矩阵，反hermite矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，kij的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r重根需对应r特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley定理0,detAAIn则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit正交化，shur分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite的性质A=GGH3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan分解、shur分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR分解的形式、正定hermite矩阵的cholesky分解3.3矩阵的QR分解1、householder变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(xhx)αe1Hx则,2uu1H令(3)αe1xαe1xu取2xα1H）（）（2、利用householder变换求矩阵的QR分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义niixx115.0122niixxpnipipxx11ixxmaxninjijmaA111AAaAHninjijFtr5.0112ijmanAmaxniijnjaA111max最大列模和njijniaA11max最大行模和HAAA12A的最大奇异值谱半径与范数的关系：AA4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性10AIAkk,当级数0kkA收敛时即1A4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数0!kkAkAe120!121sinkkkAkAkkkAkA20!21cos10111lnkKkAkA矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley定理或零化多项式进行求解2、Jordan分解：100PJaPAaAfkkkkkk100PJtaPAtaAtfKkkkkk3、待定系数法矩阵函数Af的特征值对应if5、矩阵的特征值界的估计mAmHAA5.0ReHAA5.0Im矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离~1iiiiRRazxRmax1，xRnmin6、广义逆矩阵PlllIQXr222112{1}广义逆的求法0nmIIA初等变换→0000QPIr