【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版

1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照排列的一列数．第一节数列的概念与简单表示法一定顺序②数列的项：数列中的．每一个数(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数项与项间的大小关系有穷数列无穷数列项数_____项数_____递增数列递减数列常数列an＋1anan＋1anan＋1＝an其中n∈N*有限无限(3)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．序号n2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．任一项an前一项an－11．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________．答案：an＝2n－1(n∈N*)2．已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数，2n－5n为奇数，则a4·a3＝________.解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确an与Sn的关系an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.[练一练]1．若数列{an}的前n项和S＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________.答案：2n－112．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋qn，且a2＝32，a4＝32，则a8＝________.解析：由已知得2p＋q2＝32，4p＋q4＝32，解得p＝14，q＝2.则an＝14n＋2n，故a8＝94.答案：941.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32解析：由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….答案：C2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.[类题通法](1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．用观察法求数列的通项公式的技巧[典例]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.[解](1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.已知数列前n项和求通项公式的解题步骤是什么？解题中注意什么？(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.(1)先利用a1＝S1求出a1；[类题通法]已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，求{an}的通项公式．解：由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S11，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：1形如an＋1＝anfn，求an；3形如an＋1＝Aan＋BA≠0且A≠1，求an.2形如an＋1＝an＋fn，求an；角度一形如an＋1＝anf(n)，求an1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.解：(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.即anan－1＝n＋1n－1.∴an＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·an－2an－3·an－1an－2·anan－1＝1·31·42·53·64·…·n－1n－3·nn－2·n＋1n－1＝nn＋12(n≥2)当n＝1时，a1＝1.综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋12.角度二形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.解：∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.角度三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．[类题通法][课堂练通考点]1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an是()A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.答案：B2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1B．n2C.n＋12n2D.n2n－12解析：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2n－12.答案：D3．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：84．(2013·温州适应性测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2013＝___________.解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案：－10055．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．∵Tn＝2－bn，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1.∴数列{bn}是公比为12，首项为1的等比数列．∴bn＝12n－1.