【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第八节 数学归纳法课件 理 新人教A版

第八节数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；第一个值n0(n0∈N*)(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．k＋11．数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．[试一试]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0答案：C2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝12＋13＋14.答案：D明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．[练一练]用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n1)”，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．解析：当n＝k时，不等式为1＋12＋13＋…＋12k－1k.则n＝k＋1时，左边应为：1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1则增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.答案：2k1.求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．2．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋1－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[类题通法]用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．[典例]已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，anan＋1.[证明](1)当n＝1时，因为a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，所以a1a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤akak＋1，则由a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)0，得ak＋1ak＋2，即当n＝k＋1时，anan＋1也成立．根据(1)和(2)，可知anan＋1对任何n∈N*都成立．把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1an.证明：(1)当n＝1时，∵a2是a22＋a2－1＝0的负根，∴a1a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋1ak，∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1ak≤0，∴a2k＋1－a2k0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋10，∴ak＋2ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1an.[类题通法]用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．[针对训练]用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n∈N*，n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k.当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋122－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．[典例](2014·常德模拟)设a0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解](1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想an＝an－1＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即ak＝ak－1＋a，则ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝an－1＋a.[类题通法]“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．[针对训练](2014·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝11＋xn，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．解：由x1＝12及xn＋1＝11＋xn，得x2＝23，x4＝58，x6＝1321，由x2x4x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，已证命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即x2kx2k＋2，易知xk0，那么x2k＋2－x2k＋4＝11＋x2k＋1－11＋x2k＋3＝x2k＋3－x2k＋11＋x2k＋11＋x2k＋3＝x2k－x2k＋21＋x2k1＋x2k＋11＋x2k＋21＋x2k＋30，即x2(k＋1)x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)、(2)知，又n∈N*命题成立．[课堂练通考点]1．用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－121＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k＝1－12k，则当n＝k＋1时，12＋122＋123＋…＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－22k＋1＋12k＋1＝1－12k＋1.即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，等式对n∈N*成立．2．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝158.由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)成立．