《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第一章精要课件 导数及其应

本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型一分类讨论思想在导数中的应用例1已知函数f(x)＝(x－k)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对∀x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．当k0时，f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上递增，在(－k，k)上递减；当k0时，f(x)在(－∞，k)和(－k，＋∞)上递减，在(k，－k)上递增．kx解(1)f′(x)＝1k(x2－k2)e，令f′(x)＝0得x＝±k.kx本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)当k0时，f(k＋1)＝1e；所以不可能对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)≤1e；当k0时，有(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f(－k)＝4k2e，所以对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)≤1e.即4k2e≤1e⇒－12≤k0，故对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)≤1e时，k的取值范围为[－12，0)．本课时栏目开关画一画研一研kk1e章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结在对含参数的函数讨论单调性、极值、最值时，一般需要根据函数的导数的符号对系数进行讨论，分类时一定要不重不漏，对每一类情况都要给出解答．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1求函数y＝13x3－12(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间．解y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)．令y′0，得(x－a)(x－a2)0.当a0时，不等式的解集为axa2，此时函数的单调减区间为(a，a2)；当0a1时，不等式的解集为a2xa，此时函数的单调减区间为(a2，a)；当a1时，不等式的解集为axa2，此时函数的单调减区间为(a，a2)；本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效当a＝0或a＝1时，y′≥0，此时，无单调减区间．综上所述，a0或a1时，函数y＝13x3－12(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间为(a，a2)；0a1时，函数y＝13x3－12(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间为(a2，a)；a＝0或a＝1时，无单调减区间．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型二转化与化归思想的应用例2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.综合①，可知当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效x(－∞，12)12(12，32)32(32，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不等式的解．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求a的取值范围．解f′(x)＝3ax2－2x＋1.因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0，即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．所以a0，Δ≤0，即a0，4－12a≤0，所以a≥13.又当a＝13时，f(x)在R上也是递增的，所以a≥13.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三函数与方程思想例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解(1)根据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2＝－8(x－15)2＋1800(0x30)，所以x＝15cm时包装盒侧面积S最大．(2)根据题意有V＝(2x)222(60－2x)＝22x2(30－x)(0x30)，所以，V′＝62x(20－x)，当0x20时，V′0，V递增；当20x30时，V′0，V递减，本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效所以，当x＝20时，V取极大值也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为2260－2x2x＝12.即x＝20包装盒容积V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.小结函数与方程思想是数学中最基本、最重要的数学思想，在应用问题中，从函数观点出发，建立函数模型然后求解是常用的方法．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效解(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)．∵x0，∴P′(x)＝0时，x＝12.∴当0x12时，P′(x)0；当x12时，P′(x)0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305(x∈N*，且1≤x≤19)．所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以，单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型四数形结合思想的应用例4求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a0)?解函数的定义域为R，其导函数为f′(x)＝3x2－3a.由f′(x)＝0可得x＝±a，列表讨论如下：本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效由此可得，函数在x＝－a处取得极大值f(－a)＝2＋2；在x＝a处取得极小值f(a)＝2－2.根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．即0a1时，方程x3－3ax＋2＝0有唯一的实根．因为极大值f(－a)＝2＋20，故当极小值f(a)＝2－20，即a1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f(a)＝2－20，23a23a23a23a23a本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效小结通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．一些数学问题便能顺利解决．方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思想在导数中的一个具体的应用．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练4已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1||x2|，则a，b的正负为__________．解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，因此f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，因此a0.又|x1||x2|，∴－x1x2，∴x1＋x20，即x1＋x2＝－2b3a0，∴b0.a0，b0本课时栏目开关画一画研一研