谈数学分析中的哲学思想

1谈数学分析中的哲学思想1中文摘要…………………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………………1引言………………………………………………………………………………………………11数学分析的辨证唯物主义渗透…………………………………………………………………11.1整体部分的观点…………………………………………………………………………21.2量变与质变的观点……………………………………………………………………21.3对立统一的观点…………………………………………………………………………21.4否定之否定的观点…………………………………………………………………………21.5普遍联系的观点…………………………………………………………………………31.6实践的观点………………………………………………………………………………32数学分析辨证思想的渗透………………………………………………………………………52.1数学结合的思想方法………………………………………………………………………52.2分类讨论的思想……………………………………………………………………………62.3转化的思想…………………………………………………………………………………7结束语………………………………………………………………………………………………7参考文献…………………………………………………………………………………………8英文摘要…………………………………………………………………………………………81谈数学分析中的哲学思想摘要：数学分析中蕴涵着丰富的哲学思想，如整体与部分，量变与质变，对立统一，否定之否定，普遍联系，实践的观点等.数学思想方法是数学知识的精髓，是联系数学能力的桥梁.在数学分析中加强哲学思想的渗透，不仅能更好地掌握数学知识，而且能增强辨证思维，提高学习效率，取得更好的教学效果.关键词：数学分析，辩证唯物主义，辨证思想方法引言数学分析中蕴涵着丰富的哲学思想.数学分析是一门变量学科，恩格斯说：“有了变数，辩证法进入了数学”.哲学是数学教师指导教学工作和生活的重要工具，同时又是数学教学的重要目的之一，因此在数学分析教学中进行哲学思想的渗透有十分重大的意义.1数学分析中辨证唯物主义观点的渗透1.1整体与部分的观点任何事物都是一个整体，同时又包含各个部分，整体和部分是相互依赖的.整体由部分构成，整体依赖于部分，只有深入认识部分才能清晰的把握整体.部分是整体的部分，离开整体的部分，就失去它原有的性质与功能，部分依赖整体，只有从整体中才能真正认识部分.数学分析中连续与一致连续之间的关系就是渗透着整体与部分之间的关系.例如：例1讨论fxaxb(0)a在（,）上一致连续解：由fx是初等函数，那么在（,）上任意一点0x处fx是连续的任给0，由于12fxfxa12xx，故可选取a，则对任何1x,2x,，只要12xx就有12fxfx这就证得fxaxb,在,上一致连续但是我们所说的整体与部分之间又不是简单的罗列关系，处于系统中的要素，其性质，功能要受该系统的影响和限制，离开了整体，其性质就发生了变化.例如：例2证明：y=1x在0,1内不一致连续1证明：对于y=1x，可取01，对无论多么小的正数12，只要取1x与2x2,则虽然122xx，但1211xx11,所以y=1x在（0，1）内不一致连续1.2量变与质变的观点任何事物都是质和量的统一体.质是一事物成为它自身并与之区别与其他事物的规定性，质和事物的存在是直接同一的.认识质是认识和实践的起点.量是事物存在和发展的规模、程度、速度以及它的构成成分在空间的排列组合等可以用数量表示的规定性，量和事物的存在不是直接同一的.认识事物的量是认识的深化和精确化.从一重积分到二重积分，变量由一个增加到多个，这个量的改变引起质的改变.具体表现在他们性质的差异性.例如：1.一重积分被积函数是一元函数，而二重积分则是二元函数.2.一重积分被积区间是一维空间，而二重积分则是二维空间.3.一重积分可以求曲面面积与旋转体的体积；而二重积分除了这些还可以求一般体的体积.1.3对立统一的观点唯物辩证法是一个完整的科学体系，它包括一系列的基本规律和范畴.对立统一规律又称矛盾规律.矛盾是指事物内部或事物之间的对立和统一及其相互关系，矛盾即对立统一.统一规律是唯物辩证法的实质和核心，它提示了事物发展的源泉和动力.数学中到处充满着矛盾，充满着各种对立的转化.古代哲学家庄周所著庄子.天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制的进行下去.在这里充分体现了有限和无限之间的对立统一性.1.4否定之否定的观点辨证的否定不是一次完成的，而是经历两次否定、三个阶段的有规律的过程，即“肯定——否定——否定之否定”的过程.事物的这种否定之否定过程，从内容上看，是自己发展自己，自己善自己的过程；从形式上看，是螺旋式上升或波浪式前进上升的，道路是迂回曲折的.数学分析中有一些概念的定义都是通过对立面得到定义的.例如：有界集：设S为中R的一个数集，若存在数ML，使得对一切xS，都有xMxL1则称S为有上界（下界）的数集，数ML称为S的一个上界（下界），于是称S为有界集无界集：设S为R中的一个数集，若S既无上界又无下界，则称S为无界集如同有界和无界这样概念的定义法还有连续与不连续，一致连续与不一致连续.其实，在在数学分析中的一些证明也包含着否定之否定思想.例如：设,abR,证明；若对于任何正数有ab,则ab证明：（用反证法）倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有ab令ab，则为正数且ab，但这与假设ab不成立，从而必有ab1.5普遍联系的观点马克思主义告诉我们，物质世界是普遍联系的，这是物质世界存在的真实形态.联系的观点是唯物辩证法的基本特征之一.联系作为唯物辩证法的基本范畴，是指世界上一切事物都处于普遍联系之中，事物之间以及事物内部的各要素之间相互依赖，相互影响，相互制约，相互作用.这种观点在数学分析中无处不在，且在无穷级数与函数项级数体现尤为明显.有定理可以证明定理：（积分判别正项级数的敛散性）设f为1,上非负减函数，那么正项级数fn与反常积分1fxdx同时收敛或同时发散例3讨论p级数1pn的敛散性0p解：函数fx1px，当0p在1,上是非负减函数，我们知道反常积1pdxx在1p时收敛，在1p时发散，故由上面定理得1pn当1p时收敛，当01p时发散1.6实践的观点实践是人们能动的探索和改造现实世界的一切活动.实践是数学分析知识形成过程的物质基础，它们之间的相互关系体现在运用数学知识来解决生产实践中的实际问题.为此我们来看这样两道数学题：例4有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？1解：设底的半径为x，则有V2xh，故容器的高为h2vx，容器的表面积为fx2x2xh2x22vxx2x2vx于是fx2x-22vx0求得x3vfx34vx，故3vf0故x3v是fx的极小值点，此时，h2vx32vv3v，故xh11即底的半径与容器高的比例为1:1时容器的表面积为最小例5如图一所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大？解：设每个小方快边长为x，则盒子的容积为Vxx22ax,x[0,2a]令Vx=662aaxx0在0,2a内解得稳定点x6a，并由6aV40a知道6aV3227a为极大值由于Vx在0,2a内只有唯一一个极值点，且为极大值点.因此，该极大值就是所求的最大值.即正方形四个角各减去一块边长为6a的小正方形后，能做容积最大的盒子这种理论和实践的结合，有利于我们深刻、广泛地从实际事物的量的关系和空间形式，来正确地认识客观世界，并且能动地改造客观世界.12数学分析中辨证思想方法的渗透任何一门科学都具有其方法论基础，如同其他科学技术一样，在数学的产生发展过程中，理论与方法始终是相生相伴的.“工欲善其事，必先利其器”.数学方法论就是关于数学活动中的“工具”的创造、产生和发展研究的理论性学科，是研究和讨论数学的发展规律，数学思想方法以及数学发展的一般性原理和方法的学问2.1数形结合的思想方法数学的研究对象大致可以分为两类：一是研究数量关系，另一类是研究空间形式的.数和形这两个基本概念常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化.下面我们看几个数形结合的例子：例6求3225fxxx的极值点与极值解：3225fxxx=523325xx在,上连续，且当0x时，有21'3331010101333xfxxxx易见，1x为f的稳定点，0x为f的不可导点这两点是否是极值点，需做进一步讨论，现列表如下（表中表示递增，表示递减）x(,0)0（0，1）1(1,)'y+不存在—0+y0-3由于表可见：点0x为f的极大值点，极大值0fx；1x为f的极小值点，极小值1f3图一图二例7求双纽线22cos2ra所围平面图形的面积解：如右图所示，因为2r0，1所以的取值范围是,44与35,44，由图形的对称性及公式212Ard得22244002cos2sin2Aadaa2.2分类讨论的思想分类思想是依据数学对象的相同点与不同点将数学对象划分为不同总类的数学思想.这种思想方法是逻辑划分思想在数学中的一种具体体现.其意义是使数学对象系统化、完整化、同时也使数学对象的外延更加清楚、更加深刻、更加具体.其实质是应用矛盾的普遍性与特殊性之间的辨证关系来寻求探索途径，揭示普遍规律，探求未知理论.数学专业开设的专业课中，对数学知识按照代数、几何、分析来用不同的方法进行研究与介绍，就是数学教学中的宏观分类.从微观上说，各个分支又从不同的角度对研究对象再加以分类，从而构成完整的、系统的知识网络体系.整个数学分析为一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论.这里我们从数学分析中实际运用分类讨论思想方法解决具体问题：定理（狄利克雷判别法）若Fuuafxdx在,a上有界，gx在,a上当x时单调趋于0，则afxgxdx收敛例8讨论1sinpxdxx与1cospxdxx0p的收敛性解这里讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论：（i）当1p时,1sinpxdxx绝对收敛，这是因为而1pdxx，当1p时收敛，故由比较法推知1sinpxdxx收敛（ii）当01p时,1sinpxdxx条件收敛，这是因为对任意1u,有1sincos1cos2uxdxu而1px当0p时单调趋于0x故由狄利克雷判别法推知1sinpxdxx,当0p时总是收敛的另一方面，由于12sinsin1cos2,1,,22pxxxxxxxx其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷判别条件，是收的而12dxx是发散的因此01p时该无穷积分不是绝对收敛的，所以它是条件收敛的.2.3转化的思想方法数学分析中的转化思想是处理