数学2-1,1.3.2函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xfab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减1.函数单调性与导数正负的关系：aoht'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(th归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htata0)(ahatat0)(th0)(th思考：函数h(t)在点t=a的附近的图象有何特点，以及导数的符号有何变化规律？yxaobyfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,abyfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?yfx,ab(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)yxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.思考：极大值一定大于极小值吗？(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的函数值大小情况;(2)极值点是自变量的取值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,也可能没有极值,而且函数的极大值未必大于极小值;【特别注意】探究:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考：导数为0的点一定是极值点吗？(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0（左正右负）,那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0（左负右正）,那么f(x0)是极小值口诀：左负右正为极小，左正右负为极大,左右同号无极值。00(3)()如果在两侧的符号相同,则不是极值.'xf(x)fx6x5x4x3x2x1xabxyo(2)如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx(1)如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？yfx答：'yfx1.x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2.x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。下面分两种情况讨论:（1）当，即x＞2,或x＜-2时;（2）当，即-2＜x＜2时。'0fx'0,fx'0fx当x变化时，的变化情况如下表：',fxfxx'fxfx,22,22,28343∴当x=-2时,f(x)的极大值为28(2)3f423f令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为22例1求函数的极值．4431)(3xxxf解:).2)(2(42xxxy（2）求导数f/(x)；（3）解方程f/(x)=0（4）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】（1）求函数的定义域；巩固练习P29：2（4）求函数的极值33fxxx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxxx'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减∴当时,有极小值，并且极小值为2.'0fx当时,有极大值，并且极大值为'233fxx'2330fxx1x1.x'0fx11x1x1x2)(xf)(xf2.1x1xx',fxfx解：当x变化时，的变化情况如下表：yy,令，解得1,0,1321xxx0y22)1(6xxy无极值极小值0无极值y+0+0—0—1(0,1)0(-1,0)-1xy)1,(),1(当时，y有极小值，并且0x0极小值y例2、求函数的极值．1)1()(32xxf1.函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或通过验证，a=3,b=-3不符合要求，故应选择C。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验课堂练习2.已知函数在处取得极值,求函数的解析式322fxaxbxx2,1xxfx解：（1）∵在取得极值，∴即解得∴'2322fxaxbxfx2,1xx124203220abab11,32ab3211232fxxxx0)1(,0)2(ff1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值,求a范围?3.已知函数解析:f(x)有极大值和极小值f/(x)=0有2个不等实根,0解得a6或a-34.如果函数f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c的值.课堂小结:一、利用导数求函数的极值方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的全部解(4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值.二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题