第14章结构的弹性稳定计算b

结构力学第14章结构的弹性稳定计算主要内容1基本概念2临界荷载的确定3等截面直杆的临界荷载4变等截面直杆的临界荷载5偏心受压直杆的稳定6剪力对临界荷载的影响7组合压杆的稳定8刚架的稳定计算§14.5偏心受压直杆的稳定如图所示等截面直杆，受偏心压力Fp作用。Fpleyx建立如图所示坐标系则任一截面的弯矩为yeFxMp弹性曲线的近似微分方程为yeFxMyEIp或enyny22(a)其中EIFnp2(a)式的解为enxBnxAysincos(b)其中A、B为待定常数，由边界条件确定00xy由得eA由0lxy得2tansincos1nleenlnlB因此，1sin2tancosnxnlnxey(c)由上式可知，当nl=时，除了x=0,l截面外，y。此时的荷载即为临界荷载。故22lEIFFFpepepcr与中心受压杆临界荷载相同。对于梁中点的挠度，由(c)式（x=l/2）得12cos12nleylyl/2Fp关系曲线如图所示。Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp关系曲线e1e2e2e10Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp关系曲线e1e2e2e10由图可知(a)yl/2Fp关系曲线是非线性的；是yl/2Fp关系曲22lEIFpe(b)线的渐进线；(c)e愈大，曲线偏离渐进线愈大。必须指出，上述结论只是理论上的，因为假定变形是线弹性、小变形的与真实情况相差较大。实际情况如下图所示，当时FpFpe，压杆已丧失了稳定。Fpyl/2e=0Fpe真实yl/2Fp关系曲线e1e2e2e10§14.6剪力对临界荷载的影响如图所示压杆xyFpl设：yM表示弯矩所产生的挠度，yQ表示由于剪力影响所产生的附加挠度。则QMyyy对上式两边求两次导得QMyyy(a)由挠曲线近似微分方程得EIxMyM(b)剪力引起的杆轴线附加角位移为Qy由第6章知，（k为截面形状系数）GAFkQdxdMGAkGAFkyQQ则由上式得22dxMdGAkyQ(c)又∵ypxM∴yGAFkypQ(d)把(b)、(d)代入(a)整理可得02ymy(e)其中GAFkEIFmpp1202ymy(e)(e)式的解为mxBmxAysincos(f)00xy由得0A由得0lxy2,1iiml最小值为ml=，由此得临界荷载为221lGAFkEIFpcrpcr(g)由上式可解得pepepepcrFFFGAkF11pepepepcrFFFGAkF11式中22lEIFpe无剪力影响时的欧拉临界荷载peFGAk11对于钢材，G=80GPa，欧拉临界应力e=200MPa，则14001111kGke说明在实体结构中，剪力的影响是很小的，通常可略去不计。也可采用能量法来讨论剪力的影响，设弹性曲线为lxaysin1取无弯曲状态势能为零，则lQldxGAxFkdxEIxMU020222∵lxaFyFxMppsin1lxlaFyFdxxdMxFppQcos1∴2222cos2sin22221210222210221llGAaFlEIaFdxlxlGAaFdxlxEIaFUpplplp外力功为22cos221222102222102llaFdxlxlaFdxyFTplplp0TU由得222241441llGAkEIFpcr即pepepepcrFFFGAkF11结果相同。§14.7组合压杆的稳定问题常见的组合压杆有缀条式和缀板式两种，如图所示。缀条式缀板式FpFp缀条式组合压杆缀条是由斜杆和横杆组成，一般采用单个角钢，它们与主要构件（两边槽钢）的连接一般可看作铰接。缀板式组合压杆一般情况下无斜杆，缀板与主要构件（两边槽钢）的连接一般看作刚接。关于组合压杆的临界荷载精确解目前还没有，这一问题的近似解是由铁摩辛柯（S.PTimoshenko）提出的。一缀条式组合压杆取出一个节间缀条式组合压杆如图所示。FQ=1FQ=1dbApAq①②③则在单位力FQ=1作用下，缀条变形产生的剪变形为d11式中11为FQ=1时，沿其方向上所引起的位移。由于各杆铰接。则iiiNEAlF211在缀条式组合压杆中，剪力主要由缀条承担，因此，上式计算时仅考虑缀条的影响。∵轴力：;11NF;cos12NF03NF∴2211cossin1tan1qpiiiNAAEdEAlF则2cossin1tan11qpAAE在上节中曾推导了剪力对临界荷载的影响，结论为pepepcrFFGAkF11其中为单位剪力作用时所产生的剪变形。用代替，即可得近似的缀条式组合压杆的临界荷载公式为GAkGAkpepepeqppcrFFFAAEF12cossin1tan1111式中peqpFAAE21cossin1tan1111注意：在计算欧拉临界荷载时，I只需考虑两边主要构件（如槽钢）对形心的惯性矩即可，不必考虑缀条，因缀条承担剪力。二缀板式组合压杆缀板式组合压杆可视为单跨双层刚架。并近似地认为主要构件的反弯点在节间中间，取出一节如图所示。d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2则在单位力FQ=1作用下，缀板变形产生的剪变形为d11式中11为FQ=1时，沿其方向上所引起的位移。1M2d2d4d4d4d4d图bdbdEIbdEIddbdEIddEIdsEIM12243826164232211因此bdEIbdEId12242与缀条式组合压杆推导相同，可得pepepedbpcrFFFEIdEIbdEF222412111其中pedbFEIdEIbdE241211122pedbFEIdEIbdE241211122从2的表达式可以看出，2随着间距d的减小而增大，当d=0时，2=1与实体结构相同。在一般情况下，缀板的刚度要比主要构件（如两边的槽钢）大的多，因此，可取EIb=∞，于是临界荷载计算公式可近似地简化为pepepedpcrFFFEIdEF2224111多提意见与建议谢谢！结束语作业§14.8刚架的稳定计算这里仅考虑刚架在结点处承受集中荷载且结构丧失稳定前各杆只有轴向变形而无弯曲变形的情况。在此条件下，刚架失稳属于第一类稳定问题。如图所示承受结点荷载作用刚架Fp2Fp1当荷载达到临界值时，在微小的干扰力作用下，将产生弯曲变形，当干扰力撤除后，并在新的弯曲变形状态下维持平衡。确定结构临界荷载，一般而言，采用位移法较为方便。其基本原理与第8章基本相同，所不同之处是在转角位移方程中增加考虑轴力的影响。一考虑轴力影响的等截面直杆转角位移方程FplFpABEI取出受压直杆如图所示FpAB(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由0Y得QQBAQABFFF任一截面的弯矩为yFxFMxMpQAB则弹性曲线的微分方程为yFxFMyEIpQAB(a)令：EIFlup则(a)式整理得pQABFxFMluyluy22(b)(b)式的通解为pQABFxFMluxCluxCysincos21(c)上式四个待定量C1、C2、MAB和FQ由边界条件确定由00xy得01pABFMC(d)由Axy0得ApQFFClu2(e)由得lxypQABFlFMuCuCsincos21(f)由得BlxyBpQFFCuluCulu21cossin(g)注意到lFMMFpBAABQ，利用上述四式可解得uliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8）上式中，i为线刚度，、、和为考虑轴向力效应的修正系数。u1u2u1u2;122tan4tan11uuuuu122tan21sin2uuuuu2tan21322312211uuuuuu122tan32122212uuuuuu容易证明（应用洛毕塔法则），当Fp0，u0时12121uuuu此时为普通情况下的转角位移方程。二讨论：若A端铰支，B端固定如图所示FplFpABEIFpBFpFQABFQBAMBAxy此时有MAB=0在（14-8）式的第一式令MAB=0得uliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8）uuluA211321将其代回（14-8）式的第二、三式得luuliFFuliMBQBAQABBBA33333（14-9）其中：;tan1323uuuu1tan323uuuuuliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8）luuliFFuliMBQBAQABBBA33333（14-9）由（14-8）和（14-9）式可以看出，杆端内力与轴力Fp（在u里）的关系是非线性的，而与杆端位移的线性关系仍然成立。因此，在稳定问题中，对于杆端位移分析时，仍可采用叠加原理。但需注意，在分别考虑任一杆端位移对杆端内力的影响时，必须将轴力同时考虑进去，即采用（14-8）或（14-9）式。三按位移法组成的稳定方程如图所示三杆组成的刚架Fp2Fp1其稳定方程的形成过程与前面的强度计算时情况相同。基本结构如图示。Fp2Fp1Z3基本结构Z1Z2相应的位移法典型方程为0pRZr其中TZZZZ321基本未知量列向量自由项列向量TppppRRRR321333231222111rrrrrrr对称刚度矩阵由于刚架各杆无荷载作用，而结点上集中荷载影响已在转角位移方程中考虑，因此，{Rp}=0，则位移法典型方程为0Zr上式是关于基本未知量Z1、Z2及Z3的齐次线性方程组，对于稳定问题，要求上式有非零解，即要求其系数行列式应为零0333231222111rrrrrr对称这就是稳定方程，由此可求出临界荷载例3如图示结构求其临界荷载iFpFpii2illlABCDE解：由于两立柱