第3节-群的定义及性质

近世代数1/281、运算的定义：二元运算、一元运算2、运算规律：结合律、交换律、分配律、消去律3、特异元素：单位元、零元、逆元4、代数系统的定义上一节内容回顾近世代数2/28群论主要内容:群的定义与性质子群、生成子群变换群置换群循环群子群的陪集、正规子群与商群群的同态基本定理近世代数3/28群的定义群的基本性质群的实例群中的术语第3节群的定义与性质主要内容:近世代数4/28群的三个等价定义定义1设(G,∘,e)是幺半群，若G中的每个元素都有逆元，则称(G,∘,e)是群.记作(G,∘)，有时简记为G.定义0(1)设(S,∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合律，则称(S,∘)为一个半群.(2)设(S,∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称(S,∘)是一个幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点(S,∘)记作(S,∘,e).近世代数5/28群的三个等价定义定义2设G是一个非空集合，“∘”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称G关于乘法“∘”作成一个群.IG关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a∘b∈G；II乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G(a∘b)∘c=a∘(b∘c)；IIIG关于乘法“∘”有一个左单位元e，即a∈G，存在元e∈G，使得e∘a=a；IV对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左逆元，即a∈G，存在元b∈G，使得b∘a=e，其中e是III中的左单位元.近世代数6/28群的三个等价定义定义2’设G是一个非空集合，“∘”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称G关于乘法“∘”作成一个群.I乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G(a∘b)∘c=a∘(b∘c)；IIG关于乘法“∘”有一个左单位元e，即a∈G，存在元e∈G，使得e∘a=a；III对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左逆元，即a∈G，存在元b∈G，使得b∘a=e，其中e是II中的左单位元.近世代数7/28定义3设G是一个非空集合，“∘”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称G关于乘法“∘”作成一个群.IG关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a∘b∈G；II乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G(a∘b)∘c=a∘(b∘c)；Va,b∈G，方程a∘x=b和y∘a=b在G中有解.群的三个等价定义近世代数8/28定义3’设G是一个非空集合，“∘”是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列两个条件成立，则称G关于乘法“∘”作成一个群.I乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G(a∘b)∘c=a∘(b∘c)；IVa,b∈G，方程a∘x=b和y∘a=b在G中有解.群的三个等价定义近世代数9/28群的性质性质1设(G,∘)为群，则a∈G，a的左逆元也是a的右逆元.性质2设(G,∘)为群，则G的左单位元e也是右单位元.性质3设(G,∘)为群，则a,b∈G，方程a∘x=b和y∘a=b在G中的解惟一.性质5设(G,∘)为群，则(1)a∈G，(a1)1=a；(2)a,b∈G，(a∘b)1=b1∘a1.性质4群(G,∘)中的乘法满足消去律，即a,b,c∈G有(1)若a∘b=a∘c，则b=c.(左消去律)(2)若b∘a=c∘a，则b=c.(右消去律)近世代数10/28线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个域。若：1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。近世代数11/28线性空间的定义3.加法与纯量乘法满足以下条件：1)α+β=β+α，对任意α，β∈V.2)α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.3)存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.4)对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.5)对P中单位元1，有1α=α(α∈V).6)对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).7)对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.8)对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。近世代数12/28例2设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群.eabceabceabcaecbbceacbae群的实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素例1(Z,+)、(R,+)、(Zn,)、(P(A),)是群.n阶(n≥2)实可逆矩阵集合Mn关于矩阵乘法构成群.近世代数13/28群的性质：例题例3设群G=(P({a,b}),)，其中为对称差.解下列群方程{a}X=，Y{a,b}={b}.解:X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}近世代数14/28有关群的术语定义4(1)称群(G,∘)是有限群，若G是有限集。G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.(2)称群(G,∘)是无限群，若G是无限集.(3)若群(G,∘)中的二元运算满足交换律，则称(G,∘)为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：(Z,+)和(R,+)是无限群;(Zn,)是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.近世代数15/28群的性质：例题例4设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令aiG={aiaj|j=1,2,…,n}证明：aiG=G.证明：由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|n.必有aj,ak∈G使得aiaj=aiak（j≠k）由消去律得aj=ak,与|G|=n矛盾.近世代数16/28定义5设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂:mnnanaaneamnn,0)(0011群中元素的幂注：群中元素可以定义负整数次幂.在(Z3,)中有[2]3=([2]1)3=[1]3=[1][1][1]=[0]或[2]3=([2]3)-1=([2][2][2])-1=[0]-1=[0]在(Z,+)中有(2)3=((-2)-1)3=23=2+2+2=6或(2)3=((-2)3)-1=((-2)+(-2)+(-2))-1=(-6)-1=6近世代数17/28群的性质：幂运算规则性质6设G为群，则G中的幂运算满足：(1)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(2)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(3)若G为交换群，则(ab)n=anbn.近世代数18/28元素的阶定义6设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|=k，称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.例如，在(Z6,)中，[2]和[4]是3阶元，[3]是2阶元，[1]和[5]是6阶元，[0]是1阶元.在(Z,+)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.近世代数19/28群的性质：元素的阶证明：(1)充分性.由于r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i,0≤i≤r1从而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.性质7G为群，a∈G且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k.(2)|a1|=|a|.近世代数20/28群的性质：元素的阶证明：(2)由(a1)r=(ar)1=e1=e可知a1的阶为有限.令|a1|=t，从而有t|r.同时，at=((a-1)-1)t=(a-1)-t=((a-1)t)-1=e-1=e，所以r|t.从而证明了r=t，即|a1|=|a|.性质7G为群，a∈G且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k.(2)|a1|=|a|.近世代数21/28实例例5设G是群，a,b∈G是有限阶元.证明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|(1)证明1:设|a|=r，则有可知b1ab的阶为有限.令|b1ab|=t，从而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知at=((b1)1(b1ab)b1)t=(b1)1(b1ab)tb1=e从而有r|t.因此|b1ab|=|a|.eebbbababbabbabbabbrrr111111))...()(()(个近世代数22/28实例例5设G是群，a,b∈G是有限阶元.证明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|(1)证明2:设|a|=r，则有可知b1ab的阶为有限.令|b1ab|=t，从而有t|r.另一方面，由(b1ab)t=e可知(b1ab)t=b1atb1=eat=e，从而有r|t.因此|b1ab|=|a|.eebbbababbabbabbabbrrr111111))...()(()(个近世代数23/28实例(2)证明1：|b1(ba)b|=|ba|=|ab|.证明2：若|ba|=|ab|=∞,则显然成立.若|ba|∞或|ab|∞，则不失一般性不妨假设|ba|∞.令|ba|=t,则由消去律得(ab)t=e，可知ab的阶为有限.设|ab|=r,从而可知，r|t.同理可证t|r.因此|ab|=|ba|.abaebbbaabbababaaababababtttt)())...()(())...()(()(11个个近世代数24/28实例(2)证明3：若|ba|=|ab|=∞,则显然成立.若|ba|∞或|ab|∞，则不失一般性不妨假设|ba|∞.令|ba|=t,则(ba)t=(a1aba)t=a1(ab)ta=e从而可得(ab)t=e，可知ab的阶为有限.设|ab|=r,从而可知，r|t.同理可证t|r.因此|ab|=|ba|.近世代数25/28练习11.判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群.(1)a是正整数，G={an|nZ},运算是普通乘法.(2)Q+是正有理数集，运算为普通加法.(3)一元实系数多项式的集合关于多项式加法.解：(1)是半群、独异点和群(2)是半群但不是独异点和群(3)是半群、独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性近世代数26/282.设Z18为模18整数加群,求所有元素的阶.解：|[0]|=1,|[9]|=2，|[6]|=|[12]|=3,|[3]|=|[15]|=6,|[2]|=|[4]|=|[8]|=|[10]|=|[14]|=|[16]|=9,|[1]|=|[5]|=|[7]|=|[11]|=|[13]|=|[17]|=18,练习2说明：群中元素的阶可能存在，也可能不存在.对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子(后面会证明).对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）.近世代数27/283．证明：偶数阶群必含2阶元.证明：由x2=e|x|=1或2.换句话说,对于G中元素x，如果|x|2,必有x1x.由于|x|=|x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个.那么剩下的1阶和2阶元总共应该是偶数个.1阶元只有1个，就是单位元，从而证明了G中必有2阶元.练习3近世代数28/28总结主要内容:群的定义群的基本性质基本要求:判断或证明给定集合和运算是否构成群熟悉群的基本性质