NOIP数学

信息学竞赛中的数学知识◆集合的运算◆排列与组合◆集合及其运算1、集合的运算：并、交、补、差2、容斥原理1、集合的运算：并、交、补、差并：∪交：∩补：^或～或差:-ABABAABA∪BA∩BAA-B8.（NOIP9）设全集E={1，2，3，4，5}，集合A={1，4}，B={1，2，5}，C={2，4}，则集合（A∩B）∪～C为（）。A）空集B）{1}C）{3，5}D）{1，5}E）{1，3，5}1、（NOIP10）设全集I={a,b,c,d,e,f,g}，集合A={a,b,c}，B={b,d,e}，C={e,f,g}，那么集合为（）。A.{a,b,c,d}B.{a,b,d,e}C.{b,d,e}D.{b,c,d,e}E.{d,f,g}2.（NOIP11）设全集I={a,b,c,d,e,f,g,h}，集合B∪A={a,b,c,d,e,f}，C∩A={c,d,e}，A∩~B={a,d}，那么集合C∩B∩A为（）。A.{c,e}B.{d,e}C.{e}D.{c,d,e}E.{d,f}2、容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。对有限集合S，用表示S的元素个数S容斥原理的第一形式：设A，B是有限集合，则ABABAB容斥原理的第二形式：设A、B、C是有限集合，则ABCABCBCCAABABC1、（NOIP10）75名儿童到游乐场去玩。他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收入700，可知有名儿童没有玩过其中任何一种。2、某学校足球队有球衣30件，篮球队有球衣15件，排球队有球衣18件，三队队员总数为50人，其中有2人同时参加3个队，那么同时只参加两个队的队员有多少？３、分母是1001的最简分数一共有多少个？10，91：只是玩过其中两种的有55-20=35人只是玩过其中一种人所花费用700-20*（5*3）-35*（5*2）=50元只是其中一种的人数50÷5=10人没有玩过其中任何一种的人数75-20-35-10=10人足球队有球衣30件，篮球队有球衣15件，排球队有球衣18件，三队队员总数为50人，其中有2人同时参加3个队,减去这2人，则足球队有球衣28件，篮球队有球衣13件，排球队有球衣16件，三队队员总数为48人，设学足球的为集合A篮球为集合B排球为集合C∵|A∪B∪C|=48|A|=28|B|=13|C|=16|A∩B∩C|=0x=|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|∴28+13+16-x=48X=9人3１００１＝７＊１１＊１３在１——１００１这些自然数中，１００１的约数有：１、７、１１、１３、７＊１１、７＊１３、１１＊１３、７＊１１＊１３共８个，所以，分母是１００１的最简真分数共有：１００１－８＋１＝９９４个。◆排列与组合1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数公式:全排列问题：n个不同的元素排成一排，排列方法有：nnP=n*(n-1)*(n-2)*…*2*1=n!2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.)!(!!!)1()2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，1：火车3个班次2：飞机2个班次3：轮船4个班次，那么从北京-上海的方法N=3+2+4=9种乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2m3…mn种不同的方法例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线am，at，bm，bt，cm，ct加法原理和乘法原理从A到C共有多少种走法？ABC共有N=1+3*2+1=8种做题方法与实例例1:学校师生合影，共8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的合影方式？解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.88P47P4788PP结论1插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.例2:5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法.33P66P3366PP结论2捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.例3:袋中有不同年份生产的5分硬币23个,不同年份生产的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法.110123323CCC结论3剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.例4学校安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种.99P9921P结论4对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.例5某个班级共有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.543C540C540543CC结论5排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.圆周排列：从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：rnP/rN个元素的圆周排列：nnP/n=（n-1）!有重复元素的排列问题：如：n1个a，n2个b，n3个c，排成一排，有多少种排列方法。123123()!!*!*!nnnnnn重复元素的组合问题：从n种不同的元素中取r个的元素的组合，允许有重复元素的组合：1rnrC典型模型：r个相同的小球，放到n个不同的盒子里，所有的放置方法。1.（NOIP7）平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？2、（NOIP10）由3个a，5个b和2个c构成的所有字符串中，包含子串“abc”的共有（）个。A.40320B.39600C.840D.780E.601分两种情况(1)4个点在两条直线上A上2个点和B上2个点有C(5,2)*C(6,2)=10*15=150在AC上有C(5,2)*C(7,2)=10*21=210在BC上有C(6,2)*C(7,2)=15*21=315(2)在一直线上有2点，令二点分别在另两条直线上则若A上有2点，是C(5,2)，BC上各一点，分别有6种和7种可能，是C(5,2)*6*7=420同理若B上2点是C(6,2)*5*7=525若C上2点则C(7,2)*5*6=630所以一共150+210+315+420+525+630=22502一共是10个字母当abc在第一位时,后面一共有105种排列(7!/(2!*4!)=105)当abc在第二位时,也是105种...当abc在第八位时,也是105.105*8=840种里面有重复的,要减去,就是减去有2个字字串abc的.一共60种(6!/(2!*3!)=60)所以840-60=780种