同济材料力学-顾志荣-第四章-扭转

材料力学讲授:顾志荣插个小广告~~~~~~更多同济土木考研资料请联系QQ：1715333961同济大学航空航天与力学学院顾志荣第四章扭转材料力学第四章扭转一扭转的概念和实例二外力偶矩、扭矩和扭矩图三圆轴扭转时的强度计算四圆轴扭转时的变形计算五扭转超静定问题六矩形截面杆的自由扭转七薄壁杆的自由扭转第四章扭转一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴第四章扭转/一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例mmmm第四章扭转/一扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。第四章扭转二外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系)(02.7mkNnNm马力)(55.9mkNnNmKW第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图2求扭转内力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圆轴横截面上的内力—扭矩右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。nMnM第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号规定：4扭矩的符号规定—右手螺旋法则mIInMmIInMIInMmIInMm第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图例题已知圆轴受外力偶矩mA、mB、mC作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。AmCm１１２２BmBmAmCm0CBAMMM已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则１１２２用截面法求内力：AM１１1nM111nMCBAnMMMM1扭矩第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图CMBMBMAMCM１１２２BMAM１１２２截面2-2上的内力：2nMCM２２2nMCBAnMMMM2第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图（+）BmAmCm１１２２5扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线—扭矩图AnMM1（-）CnMM2扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图例题图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：)(3.31830010549.9549.9mNnPmAA)(7.6330029549549.9mNnPmBB),(5.95mNmC),(2.159mNMDIIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图BmII1nM)(2.1593mNMMDnBmCMIIII2nM)(2.1592mNMMMCBn)(7.631mNMMBnDMIIIIII3nm绘出扭矩图：第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD7.63（-）扭矩Mn-图2.1592.159（+）)(2.159max,mNMn（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图将A、D轮的位置更换，则ACBD扭矩Mn-图7.63（-）2.1593.318)(3.318max,mNMn（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合理。IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图课堂练习图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。AmBmCm1122轮轴轴承6KNm4KNm第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章扭转三圆轴扭转时的强度计算第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算1受扭圆轴横截面上的剪应力（1）公式推导的思路应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程MeMe平面假定变形几何1受扭圆轴横截面上的剪应力（2）公式推导过程xdxMnMndddxdxdGGdxdGAnMdAnAMdAdxdG2IpPnGIMdxdPnGIMPnIM截面的极惯性矩dxdxdxTTddxdxdGdxdGAnMdAnAMdAdxdG2IpPGITdxdPnGIMPnIM截面的极惯性矩dPnIM(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式PnIMPnIrMmaxrIWPP扭转截面系数PnWMmax(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式:实心圆截面ddAPdAI2Ad222032dd324dIP163dWP空心圆截面DdPI2232Ddd4432dDDd44132DIP43116DWPP1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1z3z1=1203612=360r/min例题已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.P2＝p3＝p1／2。求:各轴横截面上的最大切应力。解：第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算7.18536079550,.55712079550.11141201495509550955032111mMNmMNnpnNmmax(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa16)07.0(163311141114d第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算2受扭圆轴任意斜截面上的应力分析第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算铸铁低碳钢铸铁试件受扭为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？mmAτττAτefsindAcosdAdAxnef0F0cossinsincosdAdAdA0F0sinsincoscosdAdAdA2sin2cos第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算2sin2cos讨论:045max450045min450τττσmaxσminτ0045004500000max00第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算3圆轴扭转时的强度条件为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即：PnWMmaxmax式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.第四章扭转四圆轴扭转时的刚度计算第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算1扭转角与剪切角mm第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算2圆轴扭转时的变形计算dxGIMdGIMdxdPnPn，轴为等直杆，则有：＝若二截面间扭矩constMnPiinPnlPnlPnlGIlMGIlMdxGIMdxGIMd＝或＝＝＝＝00如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m，m2＝2.3KN·m，m3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0m1m2m3m1d2dABC32411dIP41.25cm32422dIP4236cm111PnABGILMrad0318.0222PnBCGILMrad0079.0BCABACradrad0079.00318.0rad0239.0例题图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN5005001m2m3m4m50043116DWPmaxnPMWmax43116nMD34max3116nMDmm7.76mmD78mmd39PnGILM2121rad00734.0PnGILM1313rad00917.0PnGILM3434rad00275.034132124rad00458.0例题已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。mAlBAB)(xMnxnMnPMn31055.9Nm390单位长度阻力矩LMmnmNm40390mNm75.9PnWMmax16605016010390433MPa7.17lPnABGIdxxM0MxxMnxLMndxGIlxMlPnAB02lGIMPn21050601080403903212449rad148.0例题一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。dD12eM21因两杆扭转变形时无相对转动21222111PnPnIGLMIGLM221121PPnnIGIGMM22112122PnPnIdMIDMdDITITPP1221221GG1例题第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算3圆轴扭转时的刚度条件)(1800mPnGIMl要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴之重量。解：1.计算外力偶矩画扭矩图。mNnNmmNnNmmmNnNmDDBCBAA4456300140955095503502300110955095501146030036095509550例1：钢制传动轴已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，输入功率:NA＝360kW，输出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；.3.0,80,400mGPaGMPaBCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危险截面：AC段。mNMn7004max2.选择实心圆轴直径•按强度条件16maxmaxmax3dnPnMWMcmmMdn6.9096.0104070041616363max•按刚度条件mnPndGMGIM004max0maxmax18032180cmmGMdn4.11114.03.010803218070043218042942max2.选择空心圆轴直径•按强度条件cmDDMDMWMnnPn8.91615161163max43maxmaxmax